集理论
除了它的一阶片段，复杂的理论数学原理这对数学家来说太复杂了，不能用作他们工作中的推理工具。相反，他们几乎完全依赖于集理论在其使公理化的形式。在这个应用中，集合论不仅作为一种理论无限集无限也是一种通用的语言，数学理论可以用它来表述和讨论。因为它涵盖了与高阶相同的领域逻辑然而，集合论也受到同样的困扰悖论这在高阶逻辑的早期形式中一直困扰着它。为了消除这些问题，德国数学家欧内斯特·策梅洛在此影响下，对集合论进行了公理化公理希尔伯特的方法。
Zermelo-Fraenkel集合理论(ZF)
矛盾就像罗素悖论产生于后来被称为无限制理解原则的假设，对于任何性质p，则有一个集合包含所有且仅包含具有的集合p．在泽梅洛的系统中，理解原则被排除在外，取而代之的是几个更具限制性的公理:
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可拓性公理．如果两个集合有相同的成员，那么它们是相同的。
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初等集合的公理．存在一个没有成员的集合:null或空集合。对于任意两个对象a和b，存在一个只有成员a的集合(单位集)，也存在一个只有成员a和b的集合。
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幂集公理．如果S是一个集合，那么就存在一个集合S1，它包含且仅包含S的所有子集。
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联盟公理．如果S是一个集合(of sets)，则有一个集合包含S中包含的所有且仅包含集合的成员。
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选择公理．如果S是一个非空集合，其中不包含两个具有公共成员的集合，则存在一个集合，该集合恰好包含来自S的每个成员的一个成员。
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无穷公理．至少存在一个集合，它包含无限个成员。
除了(2)之外，所有这些公理都允许通过严格约束的操作从已经构造的集合构造出新的集合;这种方法体现了所谓的“迭代”。概念一组的。这个公理列表最终被泽梅洛和以色列数学家亚伯拉罕·弗拉恩克尔(Abraham Fraenkel)修改了，结果通常被称为泽梅洛-弗拉恩克尔集合论，或ZF，现在几乎被普遍接受为集合论的标准形式。（看到集合论:公理集合论．)
美国数学家约翰·冯·诺依曼和其他修改ZF通过添加“公理基础，它明确禁止将自己包含为成员的集合。在20世纪二三十年代，冯·诺依曼，瑞士数学家保罗·伊萨克·伯内斯和奥地利出生的逻辑学家库尔特·哥德尔(1906-78)提供了额外的技术修改，导致了现在所知的冯Neumann-Bernays-Gödel集合论或NBG。ZF很快就被证明有能力推导出皮亚诺假设由几个替代methods-e.g。，通过用特定的集合来识别自然数，例如0与空集(Ø)， 1与单例空集-只包含空集- ({Ø})，依此类推。
由于泽梅洛是在希尔伯特的公理传统范围内工作的，他和他的追随者们对与任何公理理论有关的各种问题感兴趣，例如:ZF是一致的吗?可以的一致性被证明是吗?这些公理彼此独立吗?还应该添加哪些公理?其他的逻辑学家后来提出了关于模型的问题公理设置theory-i.e。关于什么对象域和符号解释的规则将使集合论的定理为真。其中一些问题后来由于逻辑学的其他发展而得到了解答;例如，由于初等算术可以在公理集理论中重构，从Gödel对初等算术不完备性的证明(见下文逻辑语义学和模型理论)，因此公理集论也不可避免地是不完整的。
的连续统问题与可构造性公理
希尔伯特影响集合论研究的另一种方式是把一个集合理论问题放在他著名的数学未解决问题清单的首位(1900年)。问题是要证明或推翻这个著名的猜想连续统假设，这涉及到无限基数的结构数字．最小的基数为ℵo(aleph-null)，即自然数集合的基数。所有自然数集合的基数，称为ℵ1（aleph on)，等于所有集合的基数实数．的连续体假设声明ℵ1第二个无限是基数吗?换句话说，在ℵ之间不存在任何严格的基数o和ℵ1．尽管连续统假说很突出，但它的问题仍然没有得到解决。
在公理集论中，连续统问题等价于连续统假设或其否定能否在ZF中被证明的问题。在1938年至1940年进行的工作中，Gödel表明连续统假设的否定不能在ZF中得到证明(即该假设与ZF的公理一致)，1963年美国数学家保罗•科恩表明连续体假设它本身无法在采埃孚得到证明。
获得这些结果的方法本身就很有趣。Gödel展示了如何构建连续统假设成立的ZF模型。这个模型被称为“构造宇宙”，而限制ZF模型到构造宇宙的公理被称为可建构性公理。模型的建立是逐步进行的，每一步都与有限序数和无限序数相关。在每个阶段，所有迄今为止在宇宙中可以定义的集合都被添加。在与极限序数(没有直接前数的序数)相关的阶段，构造相当于取之前达到的所有集合的和。是什么特征与其说这个过程是建设性的，不如说它是不可预测的。它可以被认为是罗素和怀特黑德的分支的延伸层次结构对应于超限(大于无穷)序数。
可构造性公理是ZF公理的一个可能的补充。然而，大多数逻辑学家选择不采用它，因为它对可研究的集合范围施加了太大的限制。然而，其后果一直是深入调查的对象。