的选择公理

在采埃孚的公理中，也许最受关注的是(6)选择公理，其中有大量等价的公式。它最初是由Zermelo提出的，他用它来证明每个集合都是有序的(即，它的每个非空子集都有一个最小成员);然而，后来发现，良好的秩序定理和选择公理是等价的。一旦公理被表述出来，很明显，它在数学推理中被广泛使用，甚至被一些数学家在1960年拒绝公理的显式版本集理论．Gödel在证明的过程中证明了该公理与ZF的其他公理的一致性连续统假设ZF;公理在ZF的独立性(它不能在ZF中被证明的事实)同样被科恩在证明的过程中证明了连续体假设．

问题与新方向

公理集合论虽然不是普遍的，但被广泛地认为是数学的基础，至少在提供了一种媒介的意义上，所有的数学理论都可以被表述，并在数学推理中列出假设。然而，像ZF这样形式的公理集论并非没有它自己的特点和问题。尽管Zermelo本人并不清楚两者的区别，但ZF是一阶理论，尽管集合是高阶实体。ZF中使用的逻辑规则是常用的一阶规则逻辑．高阶逻辑原理不是作为规则引入的推理而是作为关于话语宇宙的公理。例如，选择公理可以说是高阶逻辑的一个有效原则。如果是这样的话，把它从集合论中使用的逻辑中分离出来，并把它看作独立于其他假设是不自然的。

因为集合论悖论，集合论的标准(外延)解释不能完全实现无论如何。然而，我们可以看到，为了更接近标准解释，新的公理可能会朝着什么方向发展。标准解释要求存在比非标准解释所需的更多的集合;因此，集合理论家考虑了比ZF公理所隐含的更强的存在性假设。通常，这些假设假设的集合比ZF公理化所需要的大。一些如此大的基数集被称为“不可访问的”，而另一些则被称为“不可测量的”。

同时，在这些大基数公理的表述之前，许多逻辑学家已经提出了集合论的预期模型，即所谓的“累积”层次结构它的建立方式与构造层次结构相同，不同的是，在每个阶段，已经到达的集合的所有子集都被添加到模型中。

然而，假定大集合存在的假设并不是新公理的唯一候选者。也许最有趣的提议是由两位波兰数学家雨果·施泰因豪斯和扬·米切尔斯基在1962年提出的。他们的“确定性公理”可以用一个无限二人游戏，参与者轮流选择0和1。结果是二进制的表示实数在0和1之间。如果数字位于规定的实数集合S中，则第一个玩家获胜;如果不是，第二个玩家就赢了。这个公理表明博弈是确定的——也就是说，其中一个参与者有一个制胜策略。公理的弱形式是通过对S施加限制而得到的。

确定性公理是非常强的。它暗示了对可数集合的选择公理，但与不受限制的选择公理不相容。它已被证明对集合S的某些集合成立，但它的无限制形式是否一致仍然未知。