不完备定理

不完备定理,在数学基础由奥地利出生的美国逻辑学家证明的两个定理之一库尔特·哥德尔．

1931年Gödel发表了他的文章第一不完备定理，”Über正式unentscheidbare Sätze der数学原理的形式不可定命题”数学原理和相关系统”)，这是20世纪的一个重大转折点逻辑．这个定理确定了不可能用公理化方法要构造一个正式的系统对于任何分支数学包含算术那就需要所有的真相。换句话说，没有有限的公理可以设计出所有可能的真实数学语句，因此任何机械(或类似计算机的)方法都无法穷尽数学的深度。重要的是要认识到，如果某个特定的语句在一个给定的形式系统中是不可确定的，那么它可以被合并到另一个形式系统中公理或者是由其他公理相加而来。例如，德国数学家Georg康托尔的连续统假设的标准公理或假设是不可判定的集理论但可以作为公理加入。

的第二不完备性定理作为一个直接的结果，或者必然的结果，摘自Gödel的论文。虽然论文中没有明确说明，但Gödel和其他数学家，如匈牙利出生的美国数学家都意识到了这一点约翰·冯·诺依曼他立刻意识到这是必然的结果。第二不完备性定理表明，包含算术的形式系统不能证明其自身的一致性。换句话说，没有办法证明任何有用的正式系统都没有错误陈述。随着Gödel的不完备性定理的传播，确定性的丧失继续对数学哲学．