元逻辑

语法和语义

一种形式语言通常需要一组形成的规则即:，a complete specification of the kinds of expressions that shall count as格式良好的公式(句子或有意义的表达)，适用机械从某种意义上说，机器可以检查候选人是否满足要求。本规范通常包含三个部分:(1)清单原始的符号(2)这些符号的某些组合，机械地选出来形成简单的(原子）句子，和(3)一套归纳从句-归纳因为他们规定由逻辑连接词构成的给定句子的自然组合，如不连贯的“或”，表示“∨”;“not”，符号为“∼”;而“for all”(∀)也是句子。["(∀)"被称为量词，“有一些”也被称为量词，象征着“(∃)”。由于这些规范只涉及符号及其组合，而不涉及意义，所以它们只涉及语言的语法。

一个解释形式语言的性质是由对该语言的原子句在某一对象领域的解释来确定的。通过规定域的哪些对象用语言的哪些常量表示，哪些关系和函数用哪些常量表示谓词字母和函数符号。的真实价值(是真还是假)从而根据标准来确定每句话的真假解释的逻辑连接词．例如,p·问当且仅当为真p而且问是真的。(这里，点指的是连词“与”，而不是乘法运算“倍”)因此，给定一种形式语言的任何解释，的形式概念真理是获得。真理,意义，外延是语义概念。

此外，如果引入一种正式语言中的正式系统，就会产生某些句法概念，即:公理，推理规则,定理．某些句子被挑出来作为公理。这些是(基本的)定理。每条规则推理归纳从句是否说明，如果某些句子是定理，那么另一个以适当方式与它们相关的句子也是定理定理．如果p“或者不……p或问”(∼p∨问)是定理，例如，然后问是一个定理。一般来说，一个定理要么是公理或者推理规则的结论前提定理。

1931年库尔特·哥德尔做出了基本的发现，在大多数有趣的(或重要的)形式系统中，并不是所有的真句都是定理。从这一发现可以得出，语义不能简化为语法;因此语法，这是密切相关的证据理论，必须经常与语义学相区分，这与语义学密切相关模型理论．粗略地说，语法是在哲学的数学的一个分支数论，语义学是一个分支集理论的性质和关系聚合．

从历史上看,逻辑而且公理系统变得越来越精确，为了响应更清晰的愿望，出现了一种倾向，即更加注意所使用语言的句法特征，而不是仅仅集中在直观的意义上。以这种方式，逻辑，公理方法(如在几何)和符号学(符号的一般科学)向元逻辑靠拢。

的公理化方法

最有名的公理系统欧几里得是什么意思几何．以类似于…的方式欧几里得,每一个科学理论涉及到一群有意义的概念和真实的或被相信的断言的集合。的意义概念通常可以用其他概念来解释或定义，同样，一个断言的真理或相信它的理由通常可以通过表明它可以来澄清推导出从某些已经被接受的断言中。公理方法以一系列步骤进行，从一组原始概念和命题开始，然后从它们定义或推导出理论中的所有其他概念和命题。

在19世纪出现的认识是有不同的可能性几何图形导致了将抽象数学与空间直觉分离的愿望;因此，许多隐藏在欧几里得几何中的公理被揭示出来。这些发现被组织成一个更严格的公理系统大卫希尔伯特在他的几何原理(1899);几何基础)．然而，在这个系统和相关系统中，逻辑连接词及其属性被认为是理所当然的，并保持不变隐式的．如果所涉及的逻辑被认为是谓词演算，逻辑学家就可以得到如上所述的形式化系统。

一旦获得了这样的形式化系统，就有可能将某些语义问题转化为更尖锐的句法问题。例如，有人断言，非欧几里得几何必须是有条理的系统因为他们有模型(或解释)在欧几里德几何的理论模型实数．然而，人们可能会问，如何知道实数理论在否定的意义上是一致的矛盾可以在里面推导出来。显然，建模只能建立相对的一致性，并且必须在某个地方停下来。然而，在达到一个正式的系统(例如实数)之后，一致性问题就具有了一个语法问题的更尖锐的焦点:即考虑所有可能的证明(作为语法对象)，并询问是否有任何证据(例如)以0 = 1作为最后一句。

另一个例子，一个系统是否分类也就是说，在任何两种解释同构的意义上，它是否本质上决定了一种唯一的解释，可以探索。这语义疑问句在一定程度上可以被与之相关的句法疑问句代替完整性:在系统中是否有任何句子在预期的解释中具有确定的真值，以至于该句子或其否定都不是定理。尽管现在已经知道语义和语法概念是不同的，但是系统“充分”的模糊要求被这两个概念澄清了。对一致性和一致性等尖锐句法问题的研究完整性希尔伯特所强调的理论，在1920年左右被他命名为“元数学”(或“证明理论”)。