可判定性和不可判定性
第一个不完备定理直接产生这样一个事实，即在一个系统中(例如，在N中定理适用是不确定的。如果它是可判定的，那么所有的真句都将形成递归集，它们可以作为公理的正式的系统这样就完美了。这一论断依赖于一个合理的、被广泛接受的假设，即形式系统的公理所需要的全部条件是，它们能够有效地决定一个给定的句子是否是一个公理．
或者，可以通过使用一个熟悉的引理来避免上述假设，或者辅助真相:所有递归或可计算的功能关系在系统中是可表示的(例如，在N中)。由于系统语言中的真理本身在系统中是不可表示的(可定义的)，因此，根据引理，它不能是递归的(即，可决定的)。
同样的引理也产生了这类系统关于定理的不可定性。因此，如果有一个决策过程，就会有一个可计算的函数f这样f（我)等于1或0我这个句子是不是定理。然后呢f（我) = 0表示的是我这句话无法证明。因此，使用Gödel的设备，一个句子(说thetTh)再次获得，说它本身是不可证明的。如果f（t) = 0为真，那么，因为f在系统中是可表示的，它是系统的一个定理。但是，因为f（t) = 0等于tth句子,f（t) = 1也是真的，因此在系统中是可证明的。因此，这个系统，如果是一致的，对于定理是不可定的。
虽然系统N是不完整的和不可确定的，但它已经被波兰逻辑学家发现了M. Presburger和Skolem(都在1930年)认为算术单独的加法或乘法是可决定的(关于真理)，因此是完全的正式的系统．另一个著名的积极发现是波兰裔美国语义学家和逻辑学家的发现阿尔弗雷德好他开发了一个初等几何的决策程序初等代数(1951)。
一致性证明
最著名的一致性证明是德国数学家的证明格哈德Gentzen(1936)为系统N的经典(或普通，相对于直觉)数论．取ω (ω)表示自然数之外的下一个数(称为“第一个”)超限数)，根岑的证明使用了一个感应在超有限数的范围内(ω + 1， ω + 2，…；2ω， 2ω + 1，…；ω2,ω2+ 1，……)，扩展到第一个ε数0的极限
……)这个证明，已经出现了几个变体，开辟了一个相当广泛的工作领域。
直觉数论，它否定了经典的真理概念，因此避开某些一般定律，如“either”一个或∼一个，以及关系经典数论也被研究过(见数学，基础:直觉主义)．这项研究被认为是有意义的，因为直觉主义被认为比经典数论更具建设性和更明显。1932年Gödel在直觉论中发现了经典数论的解释(根岑和伯奈斯也发现了)。1958年Gödel扩展了他的发现，得到了经典数论句子的建设性解释原始的递归的泛函,。
最近，人们将根岑的发现扩展到类型的分支理论和经典的片段分析并扩展Gödel的解释，并将经典分析与直觉分析联系起来。此外，关于这些一致性证明，德国数学家提出了各种建议，以表示段序数的构造符号Georg康托的第二个数字类，包括ω和第一个epsilon-number等等。关于一致性证明及其解释对认识论(认识论)的意义，已经进行了大量的讨论。
关于逻辑微积分的发现
命题演算
很容易证明命题演算是完整的，因为每一个有效的用它的句子——即。,每一个无谓的重复，或句子真在所有可能的世界(在所有解释)-是一个定理，可以在下面的例子中看到。“要么p不信,p”(p∨∼p)总是正确的，因为p不是真就是假。在前一种情况下，p∨∼p是正确的，因为p是真的;在后一种情况下，因为~p是真的。有一种方法可以证明完整性这种演算的关键在于观察它的存在足够的把每句话都简化成a连接标准形式，即。，到结合的析取单个字母和它们的否定。但是当且仅当每个连词都有效时，任何这样的连词都有效;当且仅当一个连词包含某个字母时，它才有效p以及~p作为整体分离的部分。因为(1)这样的连取都可以在微积分中被证明;(2)如果这些连取是定理，那么整个连取也是定理。
命题演算的一致性(它没有矛盾)或多或少是明显的，因为它可以很容易地检验它的一切公理valid-i.e。，在所有可能的世界都是如此推理从有效句到有效句。但是矛盾是无效的;因此，计算是一致的。结论，事实上，断言不止一致性，因为它认为只有有效的句子是可证明的。
计算也很容易确定。因为所有有效的句子，而且只有这些句子是定理，所以每个句子都可以通过为句子中的每个字母设置真和假来机械地检验。如果有n字母有2个n可能的替换。一个句子是定理当且仅当它在这两个中的每一个都成立n的可能性。
的独立一个公理通常用两个以上的公理来证明真值．这些值人生分为两类:理想的和不理想的。要证明独立的公理可以得到一些不需要的值，而所有不需要这个公理也可以证明的定理总是得到想要的值。这个技术是最初建议的多值逻辑．