概括和扩展的gydF4y2BaLowenheim-Skolem定理gydF4y2Ba

广义定理可以证明使用基本相同的想法都雇佣在上面讨论的更多的特殊情况。gydF4y2Ba

如果有任何理论gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba模型,然后,无限gydF4y2Ba基数gydF4y2Baα,基数α的理论模型。更明确,这个定理包含两个部分:(1)如果一个理论模型,无限的基数β,然后,为每一个无限的红衣主教大于βα,α基数的理论模型。(2)如果一个理论模型,无限的基数β,然后,为每一个无限的红衣主教α小于β,理论有一个基数α的典范。gydF4y2Ba

它紧跟着,任何理论有一个无限的模型有两个nonisomorphic模型,因此,不是gydF4y2Ba分类gydF4y2Ba。这个应用,特别是上述理论T一个gydF4y2Ba和TgydF4y2Ba_bgydF4y2Ba的gydF4y2Ba算术gydF4y2Ba(基于N)的语言,自然是可数的模型,以及处理实数和理论gydF4y2Ba任意的gydF4y2Ba集,是不可数的自然模型;这两种理论都可数和不可数模型。有很多哲学讨论这一现象。

不排除这个可能性,一个理论可能是绝对无限的基数。T理论dgydF4y2Ba例如,gydF4y2Ba稠密线性排序(如有理数的)是可数分类基数。Lowenheim-Skolem定理的一个应用程序是:如果没有有限的理论模型和分类在某些无限基数α,然后理论完成;也就是说,f或every closed sentence in the language of the theory, either that sentence or its negation belongs to the theory. An immediate consequence of this application of the theorem is that the theory of dense linear ordering is完整的gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba定理通常被认为是一个最困难的在模型理论是定理的证明gydF4y2Ba迈克尔·莫雷gydF4y2Ba,如下所示:gydF4y2Ba

一个理论范畴的一个不可数的基数是绝对不可数的基数。gydF4y2Ba

基本定理处理语言有一些区别的gydF4y2Ba谓词gydF4y2BaUgydF4y2Ba。一个理论是说承认红衣主教的一对<α,β>如果它有一个模型(域)的基数α的值UgydF4y2Ba是一组基数β。中央基本定理说:

如果一个理论承认两人<α,β>无限红衣主教的β小于α,然后为每个普通红衣主教γ理论承认<γgydF4y2Ba^+gydF4y2Baγγ>,gydF4y2Ba^+gydF4y2Ba是下一个大的红衣主教在γ。gydF4y2Ba

最有趣的例子是当γgydF4y2Ba无限gydF4y2Ba红衣主教,ℵgydF4y2Ba_0gydF4y2Ba。(一般定理可以建立只有当“广义连续统假设gydF4y2Ba”假设,根据下一个最高基数无限集的幂集)。gydF4y2Ba

成型,gydF4y2Ba超gydF4y2Ba,gydF4y2BaultrapowersgydF4y2Ba

一个超滤器在一个非空的集合gydF4y2Ba我gydF4y2Ba被定义为一组吗gydF4y2BaDgydF4y2Ba的子集gydF4y2Ba我gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba

• (1)空集不属于gydF4y2BaDgydF4y2Ba,gydF4y2Ba

• (2)如果gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,gydF4y2BaBgydF4y2Ba在gydF4y2BaDgydF4y2Ba是他们的十字路口,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba∩gydF4y2BaBgydF4y2Ba,常见的一组元素,gydF4y2Ba

• (3)如果gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是的一个子集gydF4y2BaBgydF4y2Ba,gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是在gydF4y2BaDgydF4y2Ba,然后gydF4y2BaBgydF4y2Ba是在gydF4y2BaDgydF4y2Ba,gydF4y2Ba

• (4)对于每一个子集gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba的gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,要么gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是在gydF4y2BaDgydF4y2Ba或gydF4y2Ba我gydF4y2Ba-gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是在gydF4y2BaDgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

大致说,一组的每一个超滤器gydF4y2Ba我gydF4y2Ba传达了gydF4y2Ba一个大的子集的概念gydF4y2Ba我gydF4y2Ba所以,任何财产申请的一员gydF4y2BaDgydF4y2Ba适用于gydF4y2Ba我gydF4y2Ba“几乎无处不在。”gydF4y2Ba

{集gydF4y2Ba_我},gydF4y2Ba_我= 一个gydF4y2Ba_我,gydF4y2BaRgydF4y2Ba_我>,gydF4y2Ba我是一组的成员吗gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,是一个家庭的结构索引gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BaDgydF4y2Ba是一个超滤器gydF4y2Ba我gydF4y2Ba。考虑现在的笛卡儿积BgydF4y2Ba的{gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_我}(例如,如果gydF4y2Ba我gydF4y2Ba{0,1 2。},然后呢gydF4y2BaBgydF4y2Ba所有序列的集合吗gydF4y2BafgydF4y2Ba这样gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我)属于gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_我)。的成员BgydF4y2Ba分为gydF4y2Ba等价类gydF4y2Ba的帮助下gydF4y2BaDgydF4y2Ba:gydF4y2BafgydF4y2Ba≡gydF4y2Bag当且仅当{gydF4y2Ba我|fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我)=gydF4y2Bag(gydF4y2Ba我)}∊gydF4y2BaDgydF4y2Ba换句话说,指标的集合gydF4y2Ba我这样gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我)=gydF4y2Bag(gydF4y2Ba我)属于gydF4y2BaDgydF4y2Ba(或gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我),gydF4y2Bag(gydF4y2Ba我)是平等的“几乎所有”)。让WgydF4y2Ba是这些等价classes-i.e的集合。的集合gydF4y2BafgydF4y2Ba*这样gydF4y2BafgydF4y2Ba*是所有成员的集合gydF4y2Bag的gydF4y2BaBgydF4y2Ba与gydF4y2Bag≡gydF4y2BafgydF4y2Ba。同样,一个<一个href="//www.rctutku.com/topic/relation-logic-and-mathematics" class="md-crosslink autoxref" data-show-preview="true">关系gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba介绍了这样gydF4y2Ba年代gydF4y2BafgydF4y2Bag当且仅当gydF4y2BaRgydF4y2Ba_我持有之间gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我),gydF4y2Bag(gydF4y2Ba我“几乎所有”)gydF4y2Ba我;也就是说,

{我|RgydF4y2Ba_我(gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba我),gydF4y2Bag(gydF4y2Ba我)]}∊gydF4y2BaDgydF4y2Ba。gydF4y2Ba