其他方面的影响
元逻辑导致了大量的数学性质的工作公理集理论模型理论和递归理论(在递归理论中，可以研究在有限步数内计算的函数)。
在不同的方向上，设计图灵计算机，包括抽象设计的机械逻辑程序的解释，已经导致了理想化的研究电脑，在有限自动机理论和数学方面有分支语言学．
在哲学家中语言，有一种普遍的趋势，强调逻辑哲学．例如，内涵概念和外延概念之间的对比;的作用意义在自然语言中提供真理条件;的关系介于形式逻辑与自然逻辑之间(即自然语言的逻辑);和的关系本体从对存在的实体种类的研究，到量词的使用，所有这些领域都受到了广泛的考虑和讨论。也有人努力为经验比如物理学，生物学，甚至心理学。然而，许多学者怀疑后一种努力是否卓有成效。
形式系统及其形式语言的性质
一个正式系统的例子
为了阐明元逻辑的抽象概念，本文对元逻辑进行了研究正式的系统N(及其正式语言)可以作为说明。
形成的规则
系统可能是集使用以下形式规则:
-
原子句因此被指定为:if一个而且b条款,一个＝b是一个句子。
-
其他的句子可以这样定义:如果一个而且B是句子和v是变量，则~一个，一个∨B，和(∀)v）一个是句子。
公理而且推理规则
系统可以采用特定的句子作为公理，并遵循一定的规则来开发推理．
1.基本的公理和规则是那些一阶恒等谓词演算．
2.规定N的附加公理如下:
一个．0(0)不是后继数:
∼年代x= 0
b．没有两个不同的数有相同的后继数:
∼(年代x＝年代y)∨x＝y
c．加法的递归定义:
x+ 0 =x
x+年代y＝年代（x+y）
(由此，理解了1是0的后继，我们可以很容易地证明Sx＝x+ 1)。
d．乘法的递归定义:
x·0 = 0
x·年代y= (x·y) +x
3.推理规则(原理)数学归纳法):如果0具有某种性质p如果有任何数字p那么它的的继任者那么每个数字都有p．使用上面的一些符号，这可以表示为一个(0)及(∀x)(∼一个（x)∨一个（年代x)为定理，则(∀x）一个（x)是一个定理．
上述规则和公理所规定的系统N是一个形式系统，在这个意义上，给定原始符号的任何组合，都有可能机械地检查它是否是一个N的句子，并且，给定有限的句子序列，也有可能机械地检查它是否是一个N的(正确的)证明，即。，是否每个句子都是一个公理的规则从前面的句子中接出来推理．从这个角度看，一个句子是定理当且仅当它作为最后一个句子出现的证明存在。然而，对于一个形式系统来说，并不要求它能够机械地决定一个给定的句子是否是一个定理;事实上，已经证明不存在这样的力学方法。
真理定义给定的语言
根据的发现，形式系统N有不同的解释哥德尔(从1931年)和挪威数学家Thoralf Skolem他是元逻辑的先驱(1933年)。最初的意图或标准解释采用普通的非负整数{0,1,2，…}作为域符号0和1表示0和1，符号+和·表示普通的加法和乘法。相对于这种解释，有可能给出N语言的真理定义。
首先要区分开放和封闭的句子。一个开句，如x= 1，是一个根据的值为真或假的值x，而是一个闭句，如0 = 1和(∀x) (x= 0)或“全部”x的值为零”是一个具有明确真值的值——在这种情况下，为假(在预期的解释中)。
1.闭原子句为真当且仅当它在直观的有意义;例如，0 = 0为真，0 + 1 = 0为假。
这种规范就其本身而言并不是句法上的，但是，只要仔细考虑，就有可能对那些在直观意义上是正确的封闭原子句给出一个明确的、机械的规范。
2.闭句∼一个当且仅当为真一个这是不对的。
3.闭句一个∨B当且仅当其中之一为真一个或B是真的。
4.闭句(∀ν)一个(ν)为真当且仅当一个(ν)对每一个都成立价值ν的屠宰。,如果一个(0)一个(1)，一个(1 + 1)，……都是真的。
以上对真理的定义并不是一个明确的定义;这是归纳的。然而，使用集合论中的概念，就有可能得到一个明确的定义，得到一组由所有且仅由它们组成的句子。如果采用Gödel用数字表示符号和句子的方法，那么就有可能在集合论中得到一组自然数哥德尔的数字N的正确句子的。
有一种明确的意义是不可能定义的概念一种语言本身的真理。证明了这一点说谎者悖论:如果句子是“我在说谎”，或者另一种情况
这句话不正确。
考虑到(1)是“这句话”，很清楚，如果(1)为真，那么(1)为假;另一方面，如果(1)为假，则(1)为真。在系统N的情况下，如果真理的概念在系统本身中是可定义的，那么(使用Gödel发明的装置)就有可能在N中获得相当于(1)的句子，从而产生矛盾。