模型理论
背景和典型问题
在模型理论研究理论的解释(模型)形式化的框架形式逻辑,尤其是在的一阶谓词演算与身份即:,in elementary logic. A一阶语言是由一组年代符号的关系、函数和常数,,结合符号的基本逻辑,挑出某些符号的组合句子。因此,例如,在系统的N(见上图一个正式的系统的例子),形成规则收益率一种语言,决定按照一个统一的程序集(括号)的粗略extralogical符号:
L = {年代,+·0,1}。
一个一阶理论是由语言和决定集language-those选中句子的句子的理论,在任意,广义的意义上说,“真正的”(称为“杰出的元素”的设置)。在特定的情况下系统的N,一种理论T一个的基础上建立的语言和定理的集合N, T和另一个理论b是由真正的句子N根据自然解释或意义它的语言。一般来说,N和任何的语言组句子的语言可以用来构成一个理论。
满意度的一个理论结构:有限和无限的模型
语言的实现(例如,一个基于l) is a structure identified by the six elements so arranged在第二个术语是一个函数分配一组的成员吗一个每个组的成员一个接下来的两项功能关联笛卡儿积的每个成员一个×一个(即。,from the set of ordered pairs <一个,b>,一个和b属于一个)的成员一个,最后两项的成员一个。The structure satisfies, or is a model of, the theory T一个(或Tb)如果所有的杰出T的句子一个(或Tb) are true in (or satisfied by ). Thus, if is the structure of the ordinary nonnegative整数<ω,年代,+·0,1 >,ω是所有这些整数的集合年代+,·0和1代的元素,那么它不仅是一种语言的实现基础l而且两个T的一个模型一个和Tb。哥德尔不完备定理允许非标准模型(T)一个包含的对象比ωT的但在所有著名的句子一个(即系统的定理N)是正确的。Skolem的结构(超有关,下面讨论)收益率非标准模型理论T一个T和理论b。
的使用关系满意度、或being-a-model-of,结构和理论之间(或一个句子)可以追溯到这本书Wissenschaftslehre(1837);理论的科学)Bernhard博尔扎诺波西米亚神学家和数学家,更具体上下文,引入非欧几里得的几何模型。这些概念在逻辑的数学处理,可以在后期的作品中找到19世纪的德国数学家恩斯特·施罗德而在Lowenheim(特别是,1915年他的论文)。基本的工具和模型theory-such Lowenheim-Skolem定理,都取得了显著的成绩完整性定理的基本逻辑和Skolem建设的非标准模型的arithmetic-were发达国家从1915年到1933年期间。一个更普遍和抽象模型理论的研究始于1950年之后,在工作好地和其他人。
一群发展可以分为Lowenheim-Skolem定理的细化和扩展。这些发展雇佣”的概念基数”,对于有限集仅仅是一个停止计数其元素的数量。为无限集然而,必须从设置为匹配的元素集合,而不是计算在内,因此这些集合的“大小”必须被指定无限的数字。而直接泛化可以表示,如果有任何理论无限模型,然后,对于任何无限的基数,它有一个模型的基数。此前,没有理论与无限模式分类或者这样,任何理论的两个模型同构(即。,matchable in one-to-one correspondence), because models of different cardinalities can obviously not be so matched. A natural question is whether a theory can be categorical in certain infinite cardinalities—i.e., whether there are cardinal numbers such that any two models of the theory of the same cardinality are isomorphic. According to a central discovery made in 1963 by the American mathematician迈克尔·莫雷,如果一个理论是绝对不可数的基数(即。,任何基数高于可数名词),然后是绝对不可数的基数。另一方面,例子是出名的所有四个可数名词和不可数的组合基数:具体地说,有理论分类(1)在每一个无限的基数,(2)可数基数但没有不可数的基数,(3)在每一个可数不可数的基数而不是,和(4)无限的基数。
在另一个方向,有“基本”问题出现的可能性的变化,从一个模式到另一个地方,不仅第一个模型的域的基数,但也有些选择属性的基数(如作为一个素数)。各种已发现这些问题的答案,包括独立证明(根据使用的普通公理集合论)和有条件的定理证明了某些熟悉的基础上假设的集理论。