图和网络
这个词图可能指的是熟悉的曲线解析几何和函数理论,或者它可能是指简单的点和线组成的几何图形连接这些点;后者有时也被称作线性图在一个给定的,虽然没有混乱上下文。长久以来,这些图表与游戏有关。
如果一个有限数目的点是由线连接(),结果图是图;点,或角落,被称为顶点线被称为边缘。如果每一对顶点相连的边缘,图像被称为完全图()。一个平面图就是没有交叉或边缘的共同点除了在边缘。(需要注意的是,图不需要直线的边缘)。因此可以转化为一个等价的非平面的图,或同构,平面图,如和。一个有趣的谜题涉及到的问题三个井。在这里()A, B, C代表三个邻居的房子,和R, S和T三个井。是理想的路径从每个房子好,允许没有路径穿过其他路径。证明依赖所谓的问题是不可能的约旦曲线定理,一个连续闭合曲线在飞机飞机分为内部和外部地区以这样一种方式,任何连续的线连接在内部的一个点外部必须相交的曲线。平面图形已被证明有用的电网络的设计。
一个连通图中每个顶点,或点(或者,在一个坚实的情况下,一个角落),连接到其他点的弧;一个弧表示一个完整的边缘。路线不经过不止一次,虽然可以通过任意次,有时被称为一个路径。
现代图论(线性图表的感觉)成立以来的工作欧拉与“哥尼斯堡桥问题”,多年来,与曲线现在叫有关欧拉路径即:数据,可以得出没有追溯边缘或解除的铅笔。城哥尼斯堡(现为加里宁格勒)拥抱的银行和一个小岛分叉的Pregel (Pregolya)河;七桥跨不同的分支(看到)。问题是:一个人离开家,可以散步,并返回,每个桥只有一次穿越?欧拉显示为什么这是不可能的。
长话短说,欧拉原则(适用于任何封闭网络)如下:
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即使points-i.e的数量。,一个偶数的边缘见面是没有意义的。
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甚至奇怪的点的数量总是;这包括一个网络的情况下甚至只有点。
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如果有没有奇怪的点,一个随时可以开始点和结束点。
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如果有两个奇数点,一个可以从奇怪的点和完成其他奇怪的点。
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如果有超过两个奇怪的点,网络不能跟踪在一个连续的路径;如果有2n奇怪点,没有更多,它可以追踪n单独的路径。
因此,在图15中,和可以遍历通过欧拉路径;和不能;显示了哥尼斯堡桥问题,网络对应的点代表了土地区域和边缘七桥。
网络相关的各种休闲问题涉及到结合或安排点在平面或空间。最早发明的一个难题是一个爱尔兰的数学家,威廉爵士罗文汉密尔顿(1859),需要找到一个途径在常规的十二面体的边缘,每点一次,只有一次通过。在另一个版本,这个难题是由更换更方便的十二面体图同构图形由30十二面体的边缘()。一个汉密尔顿电路是通过每个点准确但不后,一般情况下,覆盖所有的边;事实上,它只涉及两个相交的三条边顶点。重线所示的路线是几个可能的汉密尔顿电路之一。
图论涉及组合适合各种各样的问题:例如,设计一个网络连接的一组城市铁路或电话线路;规划城市街道或交通模式;匹配与申请人工作;安排循环比赛,每一个团队或者个人满足每个其他团队或个人。
Map-colouring问题
制图师早就认识到,不超过4个颜色需要阴影区域在任何地图,毗邻地区的颜色是有区别的。相应的数学问题,在1852年,成为著名的“四色地图问题”:有可能构建一个平面地图的五个颜色是必要的吗?类似的问题可以要求其他表面。例如,它发现了19世纪末,七个颜色,但是没有更多的,可能需要在环面彩色地图。同时经典色问题了数学攻击直到1976年,当数学家伊利诺伊大学宣布四个颜色足够了。他们发表的证据,包括图来自超过1000小时的计算在高速计算机,是第一个重要的数学证明严重依赖人工计算。
Flexagons
flexagon是多边形由一条纸或薄金属箔这样图拥有被弯曲的时候改变其面临的财产。在1939年第一次讨论,flexagons已经成为一个迷人的数学娱乐。最简单的flexagons之一是trihexaflexagon,由切割一条合适的材料和划线10等边三角形。通过适当折叠几次,然后将最后一个三角形到第一个三角形的反面,由此产生的模型可能会弯曲,这样一个面临消失,另一个的脸将取而代之。