数字与现实

大自然的数字

自然界的许多方面都显示出强烈的数字模式，这些可能是一些数字神秘主义的来源。例如，晶体可以有旋转对称双重的三倍，四倍，六倍，但不是五倍——这是古希腊人凭经验认识到的一个奇怪的例外，并在19世纪得到了数学上的证明。

一个特别重要的数字是黄金比例，通常用希腊字母φ来表示。它可以追溯到早期的希腊数学，名为“极值与均值之比”，指的是线段的一种分割方式，即整体与较大部分之比与较大部分与较小部分之比相同。这个比值正好是(1 +的平方根√5)/2，或大约1.618034。流行的名字黄金比例,或金数，似乎是由德国数学家马丁·欧姆在初等数学(1835);《纯数学》)。如果不是，这个词也不是更古老，当然也不能追溯到古希腊正如人们常说的那样。

在艺术和体系结构的金数常被认为与优雅的比例有关;一些人声称希腊人用它来设计帕特农神庙．这些说法几乎没有证据支持。任何建筑都有很多不同的长度，有些比例必然接近黄金数字，或者与任何其他不太大或不太小的比例。黄金数字也经常被引用与壳的联系鹦鹉螺，但这也是一种误解。鹦鹉螺壳有一个漂亮的数学形式，所谓对数(或等角)。螺旋．在这样的螺旋中，每一个连续的回合都被放大一个固定的量。有一个与黄金数相关的对数螺旋，在这种情况下，固定的数量正是φ。然而，nautilus的螺旋没有比例φ。对数螺旋以任何给定的数字作为它们的比例存在，鹦鹉螺比在数学中没有特殊的意义。

然而，黄金数字与植物是合理的联系。这种联系包括斐波纳契数(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，…)，其中每一个数字，从2开始，都是前两个数字的和。1202年，意大利数学家首次讨论了这些数字莱昂纳多皮萨诺他似乎在19世纪获得了斐波那契(波纳西奥之子)的绰号。连续斐波那契数的比值，如34/21或55/34，随着数字大小的增加越来越接近φ。因此，斐波那契数和φ享受an亲密的数学的联系。

斐波那契数列在植物王国。许多花有3、5、8、13、21或34片花瓣。其他数字不太常见;通常它们是a的两倍斐波纳契数，或属于“异常级数”1,3,4,7,11,18,29，…，具有与斐波那契数相同的形成规则，但初始值不同。此外，斐波那契数出现在向日葵和雏菊的种子头。它们被排列成两组相互穿透的螺旋，它们通常包含，比如说，55个顺时针螺旋和89个逆时针螺旋或其他一些斐波那契数。

这种命理学是真实的，它与植物的生长模式有关。随着生长尖端的萌发，新的原基——将成为特殊特征的细胞团块，如种子——沿着一个固定角度的连续倍数生长。这个角是产生最接近原基的一个角，出于合理的数学原因，它是黄金角:一个完整圆的分数(1−1/ φ)，大约是137.5度。

数量的天性

数字到底是什么?两只羊或两个苹果是什么很容易看出来;你可以在现实世界中找到它们。2是多少?你永远不会在田野里或水果盘里遇到两人。的象征2不是一个数字而是一个数字的符号。直到19世纪，人们都认为数字是上帝赐予的——它们就是上帝赐予的。没有人需要定义概念．甚至在19世纪的德国数学家利奥波德克罗内克他说:“整数是上帝创造的，其他一切都是人类的工作。”

19世纪德国逻辑学家Gottlob弗雷格试图将数字定义为“所有类中的类，可以与给定类进行一对一对应”。基本上，他的想法是，抽象数字2可以被认为是所有对象对的类:两只羊，两个苹果，两个等等。将所有对组合在一起，结果是一个定义良好的对象，它捕获了2的本质。数学家们会对这个定义非常满意，除了一个问题。英国哲学家伯特兰·罗素指出短语“所有阶级中的……阶级”可能并不总是有合理的含义。他陈述了他著名的悖论关于“所有不包含自己的类中的类”。同样，这是一个悖论，理发师为所有不剃自己的人刮胡子。那么谁给理发师刮胡子呢?或者想象一个包含所有不列出自己的目录的目录。这个超级目录是否列出了自己?

今天，数字被视为逻辑结构，它们的存在只在相当抽象的数学意义上成立，在这种意义上，如果某物不是逻辑上自相矛盾的，它就存在。通过一种计数过程，数字被定义为概念上更简单的对象，集合。的罗素悖论已不再是问题，但它已被这位奥地利出生的美国逻辑学家的更深层次的悖论所取代库尔特·哥德尔．Gödel的定理指出，如果算术不是自矛盾的——也就是说，如果数字在数学意义上存在——那么这个事实就永远无法在数学上得到证明。所以，也许数字真的像许多人认为的那样神秘。