量子力学和概率
布莱恩·格林解释了量子力学的革命性思想是如何使现实…
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布莱恩。格林:大家好。欢迎来到你的每日方程式。也许在我们对宇宙的理解中最伟大的一次革命是发生在20世纪早期的一场运动，它把我们从古老的经典宇宙物理学观点带到了新的量子视角。在这种变化中，我们的观点最根本的转变来自于我们需要从概率的角度来思考世界。
事实上，这就是我们今天方程的重点。我将激发并写下一个基本方程它从数学上阐述了这个观点我们所能做的最好的事情就是预测得到一个或另一个结果的可能性或概率。而不是牛顿的观点，你告诉我今天的情况如何，我就能100%确定地预测明天的情况如果我有100%准确的数据和100%准确的计算。量子力学认为这是一种错误的思考方式。你所能做的就是预测得到一个或另一个结果的概率。
好吧。现在看看这一切是从哪里来的，让我们回到正确的思维框架，正确的视角。最简单的方法就是回到，双缝实验，著名的双缝实验，在这种情况下，你向一个有两个开口的势垒发射小粒子，小电子。你可以看到，随着时间的推移，单个电子并没有落在与两个开口对齐的两个带中，这是你认为会发生的事情。但相反，你会看到很多条带沿着探测器屏幕展开，得到这个标志性的图案，亮区，暗区，亮区，暗区。
在经历了一些恐慌之后，我意识到这些数据强烈地暗示了这样一个事实当你描述粒子的量子力学运动时，你需要从波的角度来考虑它们。为什么呢?嗯,看。这是一个描述波浪运动的小图像，你可以看到水波朝着有两个开口的障碍物前进。每个开口都有圆形的水波辐射出来。因为它们是混合的，它们是重叠的，你得到了这个有趣的图案，对吧?
一个波的波峰与另一个波的波谷相交的地方相互抵消，这就是为什么你会看到高度激荡的区域，没有激荡的区域，高度激荡的区域，等等。在后面的屏幕上，你可以看到，如果我让屏幕上的亮度记录下水的搅动，你就会得到亮，暗，亮，暗，亮，暗，就像我们得到的粒子被发射到有两个开口的屏幕上的数据。
这就是粒子和波之间的联系变得明显的地方。同样的数据，即使它是“梨子”——或者我应该说它看起来，不是“梨子”——看起来你有不同的东西被扔到势垒上，一种情况下是粒子，另一种情况下是波。同样的数据表明他们之间有很深的联系。的确，两者之间有很深的联系，但在20世纪20年代，人们努力想弄清楚这种联系到底是什么。
我的意思是，看，一个粒子，它存在于空间中一个很小的位置。这就是粒子。它就像某种东西的最小的斑点。另一方面，波浪则完全不同。它是完全展开的，而不是局限在一个特殊的点上。那么，如何将这两个似乎处于特定范围两端的想法联系起来呢?
在20世纪20年代，很多人加入了进来。Erwin Schrödinger，我给你们看一张他的小照片来了解一下文化背景。Schrödinger，他是量子力学领域的领军人物之一——有一个著名的方程你们很多人都让我讲过，我就讲一下。不是今天，但很快我会，Schrödinger的方程式。
但是Schrödinger在粒子可能是波的情况下是有分量的。他说，看，他说，也许一个像电子一样的粒子，实际上，你把它想象成一个小点，但也许你实际上有可能有一种被涂掉的电子，有点像花生酱或蛋黄酱。你可以把它涂掉，对吧?也许电子也可以被抹去，这就是电子可以成为波的方式。不只是在某一点上。它可以展开。
现在，你知道，这是一个自然的建议。但当人们思考这个问题时，它遇到了巨大的障碍，看，如果一个电子真的可以在空间中展开，那么，原则上，你应该能够测量一个电子并得到一个电子的一小部分。你应该能够从那个被抹掉的电子中抓取一小块，得到十分之一个电子，或者四分之一个电子，或者半个电子，但是数据始终表明，当你测量一个电子时，你总是能得到一个完整的电子，完整的电子。十分之一电子或三分之一电子似乎没有任何意义。
所以把波和粒子联系在一起看作是一种模糊的，糊状的，扩散的粒子是不成立的。所以人们继续提出想法，但实际上是这个家伙。这是马克斯·伯恩，他是一个不太出名的人物，至少对公众来说是这样。当你想到那些发明量子力学的物理学家。他是那种性情温和的人会在其他巨人的阴影下安静地工作。在这种特殊情况下，他提出的观点是量子力学的核心。
这是马克思·玻恩提出的一个深刻的解释他说，看，和电子这样的粒子相关的波是什么?他说这是一种你以前从未遇到过的海浪。它所包含的思想似乎完全不同于我们在讨论粒子运动时所引用的典型思想。他说这个波是概率波，概率波，概率波。这是什么意思?
这意味着当你讨论电子的运动时，有一个波。在波大的地方，粗略地说，我一会儿会更精确地说，在波大的地方，电子被找到的概率很高。波越小，在那个位置找到电子的概率就越小。在波为零的地方，就像双缝实验中的交叉波，从一边来的波可以穿过另一边的波，然后互相抵消，在波的概率为零的地方，你找到电子的机会为零。
从这个解释方案来看，探测器屏幕上干涉图上的暗区域，就是两个开口的概率波相互抵消的地方。因此，在那里发现粒子的概率为零，这就是为什么探测器屏幕上的那个区域是黑色的。明亮的区域是发现电子的概率高的地方。所以当你在一段时间内扔出很多电子时，很多电子会落在它们极有可能落在的地方，这就是他解释物质的波状性质的方法，以及你如何用它来解释双缝实验中的数据。
让我来展示一下。所以我要用一种蓝色的小波，就像你在这里看到的，来表示与粒子有关的波，比如电子，概率波。同样，当波的高度很大的时候，直觉上你可以把它想象成它很可能找到粒子的位置。它越小，可能性越小。在波为0的地方，你找不到粒子。
现在想象你测量电子的位置，砰，你发现它在一个或另一个位置。这是什么意思?好吧，这意味着你现在确切地知道了电子的位置，因为你已经测量了它的位置，这意味着波一定是峰值，正如我们在这里看到的，所有的概率都集中在那个位置，而其他地方的波是零，因为根据你的测量，你知道它不在任何其他位置。因此，在这些地方找到它的概率一定会一路下降到零。
我应该说，这个测量一个粒子的过程和量子波的反应，就像我在这张图中展示的那样，在你发现粒子的地方突然集中注意力，这是量子力学中极具争议的部分。我们稍后会讲到。这叫做波函数的坍缩。波函数是与粒子相关的概率波的更精确的名称。
我们远不能确定这种峰值，这种崩溃是否真的发生了。事实上，我想说的是，大多数人认为它不会以我描述的这种天真的方式发生。但出于教学原因，首先用这种语言思考问题是有用的。但是如何从模糊的概率到从观测中出现的明确的现实是量子力学中一个尚未解决的大问题，也就是所谓的量子测量问题。
但是把这个问题放在一边，如果我们回到20世纪20年代人们思考问题的方式，就是在你进行测量之后，波有了这种尖刺形状，如果你把目光移开，这种尖刺形状会融化回这种波动的可能性概率景观中，直到下一次测量发生，这导致这种模糊的可能性再次集中注意力，并产生你的观察或测量所揭示的单一确定的现实。
我要强调的是，这是一种奇怪的，高度反直觉的，非常奇怪的谈论世界的方式。我们不习惯这样的现实当我们不测量时，当我们不观察时，许多可能性就像一团模糊的雾，这些可能性的概率可以用量子力学的波动波来描述，只有当我们观察这个世界时，它才会突然集中注意力，并具有我们生活中每一刻都能体验到的明确的品质，但这是一种新的图像，从这种被揭示的波状物质本质中显现出来，通过麦克斯·伯恩的双缝实验，用概率解释了波的真正含义。
现在我用一个数学方程来解释。毕竟，这就是所谓的“每日方程式”。它不叫《每日动画》或《每日意象》，对吧?我来演示一下。让我把这个放到屏幕上。好了。很好。好的。首先，你可以很容易地直接问一个问题。你可以说，看，当我们有一个波，一个像这样的波，比如说，有些地方的波是正的，有些地方是负的。
所以它不可能是波本身给出概率的值，因为如果是这样的话，你就会面临一种情况，比如说，有负的概率。这到底意味着什么?事实上，在玻恩给出的解释方案中，并不是字面上的给定位置的波的大小告诉你概率。这有点复杂。
它因为一个与复杂有关的词而变得更加复杂，这是一个数学细节，毫无疑问你们有些人很熟悉，但让我快速地说一下。量子力学中真正的波，通常用希腊字母psi来描述。我们说(x和t)如果我们在研究一维非相对论量子力学，这里只有一个坐标。想象我只是在一条直线上做量子力学，而不是在空间上，只是为了方便。
这实际上，一般来说，当我们讨论Schrödinger的方程时，我们会看到，这实际上是一个复数。记住复数包括根号下- 1等于i，如果它实际上是一个复数，那么负概率的问题就更加突出了因为现在你有了虚数概率。
那你该怎么做呢?所以答案是，玻恩给出的最终答案是，在x位置找到电子的概率，你不让它等于波本身。假设这是在给定的时间点。也许我应该把它放在这里，以免混淆。你不能精确地把它直接设为等于波的值。而是用这个波乘以它的复共轭我们通常写成(xt)²。
这个波乘以复共轭的特殊组合的美妙之处在于这个乘积总是一个实数，而且总是一个正数。所以这很好。所以我们的概率都是正的实数。现在，另一件事，只是为了数学上的精确，你想要这样的情况，如果你把你在某一特定时刻找到一个粒子的所有概率加起来，我们就叫它时间固定，我用一个小零来表示，所有概率的总和应该是1。这就是概率的定义。
所以小数学细节,只是值得写下来这是当我们谈到这些波函数,我们要求规范化,如果他们在这样一个方式,例如,我整合,即连续版本的总和,这家伙在任何给定的时刻,如果我积分域的粒子,它可以从负无穷到正无穷,它可能是一个有限区间,这些概率的总和等于1,我们已经在这里。
我可以通过将波函数的值重新归一化通过将它缩放成一个常数值，也就是这个积分的平方根，如果它不等于1。如果我恰当地归一化我的概率波，我的波函数，那么我们就得到了这样的解释，找到粒子的概率是由那个时刻那个位置的概率波的范数的平方给出的。
这就是马克思·伯恩在20世纪20年代给我们的解释方案。这是一次意义深远的转变，我们从牛顿的理论出发即所见即实，对吧?你描述了外面的东西，这是一个明确的现实，你的数学描述了一个明确的现实。但是马克斯·伯恩，以及其他正在研究这一量子图景的人，都不同意。
实际存在的是量子力学波，这些波的演化方式，我们可能会在下节课或下节课讨论，由一个方程给出，Schrödinger的方程。我们会讲到的。但是这些波随着时间的推移而演变，它们告诉你的是在这个或那个位置找到这个或那个粒子的概率，这是你能做的最好的。
这并不是说你错过了什么。因为这个原因，你只能用概率来谈论。它不像，你知道，天气预报员或传统意义上的抛硬币，我们只是没有足够的信息来告诉你到底会发生什么。所以我们的无知迫使我们使用概率的语言。至少在一种解释中，这些观点还有其他解释。也许我会讲一些。但最直接的解释是，事实并非如此。这个世界从根本上讲是概率的。你什么都没错过。你不是无知。 The best you can do is describe the likelihood of one or another outcome, and it is this quantum mechanical probability wave that captures those probabilities mathematically.
好的。这就是我今天要讲的内容，量子力学中概率方程的关键转变给了我们一个用概率描述世界的数学版本，我们将在后面的章节中继续讨论量子力学。但今天，就到此为止。这是你的每日方程式。当心下次见。
事实上，这就是我们今天方程的重点。我将激发并写下一个基本方程它从数学上阐述了这个观点我们所能做的最好的事情就是预测得到一个或另一个结果的可能性或概率。而不是牛顿的观点，你告诉我今天的情况如何，我就能100%确定地预测明天的情况如果我有100%准确的数据和100%准确的计算。量子力学认为这是一种错误的思考方式。你所能做的就是预测得到一个或另一个结果的概率。
好吧。现在看看这一切是从哪里来的，让我们回到正确的思维框架，正确的视角。最简单的方法就是回到，双缝实验，著名的双缝实验，在这种情况下，你向一个有两个开口的势垒发射小粒子，小电子。你可以看到，随着时间的推移，单个电子并没有落在与两个开口对齐的两个带中，这是你认为会发生的事情。但相反，你会看到很多条带沿着探测器屏幕展开，得到这个标志性的图案，亮区，暗区，亮区，暗区。
在经历了一些恐慌之后，我意识到这些数据强烈地暗示了这样一个事实当你描述粒子的量子力学运动时，你需要从波的角度来考虑它们。为什么呢?嗯,看。这是一个描述波浪运动的小图像，你可以看到水波朝着有两个开口的障碍物前进。每个开口都有圆形的水波辐射出来。因为它们是混合的，它们是重叠的，你得到了这个有趣的图案，对吧?
一个波的波峰与另一个波的波谷相交的地方相互抵消，这就是为什么你会看到高度激荡的区域，没有激荡的区域，高度激荡的区域，等等。在后面的屏幕上，你可以看到，如果我让屏幕上的亮度记录下水的搅动，你就会得到亮，暗，亮，暗，亮，暗，就像我们得到的粒子被发射到有两个开口的屏幕上的数据。
这就是粒子和波之间的联系变得明显的地方。同样的数据，即使它是“梨子”——或者我应该说它看起来，不是“梨子”——看起来你有不同的东西被扔到势垒上，一种情况下是粒子，另一种情况下是波。同样的数据表明他们之间有很深的联系。的确，两者之间有很深的联系，但在20世纪20年代，人们努力想弄清楚这种联系到底是什么。
我的意思是，看，一个粒子，它存在于空间中一个很小的位置。这就是粒子。它就像某种东西的最小的斑点。另一方面，波浪则完全不同。它是完全展开的，而不是局限在一个特殊的点上。那么，如何将这两个似乎处于特定范围两端的想法联系起来呢?
在20世纪20年代，很多人加入了进来。Erwin Schrödinger，我给你们看一张他的小照片来了解一下文化背景。Schrödinger，他是量子力学领域的领军人物之一——有一个著名的方程你们很多人都让我讲过，我就讲一下。不是今天，但很快我会，Schrödinger的方程式。
但是Schrödinger在粒子可能是波的情况下是有分量的。他说，看，他说，也许一个像电子一样的粒子，实际上，你把它想象成一个小点，但也许你实际上有可能有一种被涂掉的电子，有点像花生酱或蛋黄酱。你可以把它涂掉，对吧?也许电子也可以被抹去，这就是电子可以成为波的方式。不只是在某一点上。它可以展开。
现在，你知道，这是一个自然的建议。但当人们思考这个问题时，它遇到了巨大的障碍，看，如果一个电子真的可以在空间中展开，那么，原则上，你应该能够测量一个电子并得到一个电子的一小部分。你应该能够从那个被抹掉的电子中抓取一小块，得到十分之一个电子，或者四分之一个电子，或者半个电子，但是数据始终表明，当你测量一个电子时，你总是能得到一个完整的电子，完整的电子。十分之一电子或三分之一电子似乎没有任何意义。
所以把波和粒子联系在一起看作是一种模糊的，糊状的，扩散的粒子是不成立的。所以人们继续提出想法，但实际上是这个家伙。这是马克斯·伯恩，他是一个不太出名的人物，至少对公众来说是这样。当你想到那些发明量子力学的物理学家。他是那种性情温和的人会在其他巨人的阴影下安静地工作。在这种特殊情况下，他提出的观点是量子力学的核心。
这是马克思·玻恩提出的一个深刻的解释他说，看，和电子这样的粒子相关的波是什么?他说这是一种你以前从未遇到过的海浪。它所包含的思想似乎完全不同于我们在讨论粒子运动时所引用的典型思想。他说这个波是概率波，概率波，概率波。这是什么意思?
这意味着当你讨论电子的运动时，有一个波。在波大的地方，粗略地说，我一会儿会更精确地说，在波大的地方，电子被找到的概率很高。波越小，在那个位置找到电子的概率就越小。在波为零的地方，就像双缝实验中的交叉波，从一边来的波可以穿过另一边的波，然后互相抵消，在波的概率为零的地方，你找到电子的机会为零。
从这个解释方案来看，探测器屏幕上干涉图上的暗区域，就是两个开口的概率波相互抵消的地方。因此，在那里发现粒子的概率为零，这就是为什么探测器屏幕上的那个区域是黑色的。明亮的区域是发现电子的概率高的地方。所以当你在一段时间内扔出很多电子时，很多电子会落在它们极有可能落在的地方，这就是他解释物质的波状性质的方法，以及你如何用它来解释双缝实验中的数据。
让我来展示一下。所以我要用一种蓝色的小波，就像你在这里看到的，来表示与粒子有关的波，比如电子，概率波。同样，当波的高度很大的时候，直觉上你可以把它想象成它很可能找到粒子的位置。它越小，可能性越小。在波为0的地方，你找不到粒子。
现在想象你测量电子的位置，砰，你发现它在一个或另一个位置。这是什么意思?好吧，这意味着你现在确切地知道了电子的位置，因为你已经测量了它的位置，这意味着波一定是峰值，正如我们在这里看到的，所有的概率都集中在那个位置，而其他地方的波是零，因为根据你的测量，你知道它不在任何其他位置。因此，在这些地方找到它的概率一定会一路下降到零。
我应该说，这个测量一个粒子的过程和量子波的反应，就像我在这张图中展示的那样，在你发现粒子的地方突然集中注意力，这是量子力学中极具争议的部分。我们稍后会讲到。这叫做波函数的坍缩。波函数是与粒子相关的概率波的更精确的名称。
我们远不能确定这种峰值，这种崩溃是否真的发生了。事实上，我想说的是，大多数人认为它不会以我描述的这种天真的方式发生。但出于教学原因，首先用这种语言思考问题是有用的。但是如何从模糊的概率到从观测中出现的明确的现实是量子力学中一个尚未解决的大问题，也就是所谓的量子测量问题。
但是把这个问题放在一边，如果我们回到20世纪20年代人们思考问题的方式，就是在你进行测量之后，波有了这种尖刺形状，如果你把目光移开，这种尖刺形状会融化回这种波动的可能性概率景观中，直到下一次测量发生，这导致这种模糊的可能性再次集中注意力，并产生你的观察或测量所揭示的单一确定的现实。
我要强调的是，这是一种奇怪的，高度反直觉的，非常奇怪的谈论世界的方式。我们不习惯这样的现实当我们不测量时，当我们不观察时，许多可能性就像一团模糊的雾，这些可能性的概率可以用量子力学的波动波来描述，只有当我们观察这个世界时，它才会突然集中注意力，并具有我们生活中每一刻都能体验到的明确的品质，但这是一种新的图像，从这种被揭示的波状物质本质中显现出来，通过麦克斯·伯恩的双缝实验，用概率解释了波的真正含义。
现在我用一个数学方程来解释。毕竟，这就是所谓的“每日方程式”。它不叫《每日动画》或《每日意象》，对吧?我来演示一下。让我把这个放到屏幕上。好了。很好。好的。首先，你可以很容易地直接问一个问题。你可以说，看，当我们有一个波，一个像这样的波，比如说，有些地方的波是正的，有些地方是负的。
所以它不可能是波本身给出概率的值，因为如果是这样的话，你就会面临一种情况，比如说，有负的概率。这到底意味着什么?事实上，在玻恩给出的解释方案中，并不是字面上的给定位置的波的大小告诉你概率。这有点复杂。
它因为一个与复杂有关的词而变得更加复杂，这是一个数学细节，毫无疑问你们有些人很熟悉，但让我快速地说一下。量子力学中真正的波，通常用希腊字母psi来描述。我们说(x和t)如果我们在研究一维非相对论量子力学，这里只有一个坐标。想象我只是在一条直线上做量子力学，而不是在空间上，只是为了方便。
这实际上，一般来说，当我们讨论Schrödinger的方程时，我们会看到，这实际上是一个复数。记住复数包括根号下- 1等于i，如果它实际上是一个复数，那么负概率的问题就更加突出了因为现在你有了虚数概率。
那你该怎么做呢?所以答案是，玻恩给出的最终答案是，在x位置找到电子的概率，你不让它等于波本身。假设这是在给定的时间点。也许我应该把它放在这里，以免混淆。你不能精确地把它直接设为等于波的值。而是用这个波乘以它的复共轭我们通常写成(xt)²。
这个波乘以复共轭的特殊组合的美妙之处在于这个乘积总是一个实数，而且总是一个正数。所以这很好。所以我们的概率都是正的实数。现在，另一件事，只是为了数学上的精确，你想要这样的情况，如果你把你在某一特定时刻找到一个粒子的所有概率加起来，我们就叫它时间固定，我用一个小零来表示，所有概率的总和应该是1。这就是概率的定义。
所以小数学细节,只是值得写下来这是当我们谈到这些波函数,我们要求规范化,如果他们在这样一个方式,例如,我整合,即连续版本的总和,这家伙在任何给定的时刻,如果我积分域的粒子,它可以从负无穷到正无穷,它可能是一个有限区间,这些概率的总和等于1,我们已经在这里。
我可以通过将波函数的值重新归一化通过将它缩放成一个常数值，也就是这个积分的平方根，如果它不等于1。如果我恰当地归一化我的概率波，我的波函数，那么我们就得到了这样的解释，找到粒子的概率是由那个时刻那个位置的概率波的范数的平方给出的。
这就是马克思·伯恩在20世纪20年代给我们的解释方案。这是一次意义深远的转变，我们从牛顿的理论出发即所见即实，对吧?你描述了外面的东西，这是一个明确的现实，你的数学描述了一个明确的现实。但是马克斯·伯恩，以及其他正在研究这一量子图景的人，都不同意。
实际存在的是量子力学波，这些波的演化方式，我们可能会在下节课或下节课讨论，由一个方程给出，Schrödinger的方程。我们会讲到的。但是这些波随着时间的推移而演变，它们告诉你的是在这个或那个位置找到这个或那个粒子的概率，这是你能做的最好的。
这并不是说你错过了什么。因为这个原因，你只能用概率来谈论。它不像，你知道，天气预报员或传统意义上的抛硬币，我们只是没有足够的信息来告诉你到底会发生什么。所以我们的无知迫使我们使用概率的语言。至少在一种解释中，这些观点还有其他解释。也许我会讲一些。但最直接的解释是，事实并非如此。这个世界从根本上讲是概率的。你什么都没错过。你不是无知。 The best you can do is describe the likelihood of one or another outcome, and it is this quantum mechanical probability wave that captures those probabilities mathematically.
好的。这就是我今天要讲的内容，量子力学中概率方程的关键转变给了我们一个用概率描述世界的数学版本，我们将在后面的章节中继续讨论量子力学。但今天，就到此为止。这是你的每日方程式。当心下次见。