欧拉恒等式:最美丽的方程
Brian Greene表明欧拉身份被认为是最美丽的数学……
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BRIAN GREENE:嘿,每一个人。欢迎来到你的日常方程。希望你有一个美好的一天,你感觉好。我有一个,我今天有一个很好的一天。我一直工作,实际上,在为《纽约时报》的一篇文章的主题——这个问题,艺术为何重要?是的,很明显的一个物理学家,数学家,你知道,没有人是一个艺术家,但这是一种偶然的,因为方程,今天我想谈谈经常被描述——我肯定这样描述——作为一个最漂亮的或者最漂亮的数学方程。
这想法的艺术和美学和美丽和优雅,它都是在这个数学公式,这使得它,你知道,一个相当吸引人的话题,写,思考,也是一个很棒的小封装我们物理学家,数学家所说当他们谈论数学美。正如您将看到的方程,当我们得到它,它只是将在这样一个紧凑,优雅,经济方程数学世界的不同方面,并把不同的东西放在一起到小说模式——一个美丽的模式,模式,只是让你知道当你看,我们的意思是当我们讨论数学的美。
让我们进入方程,和这一个,我需要做大量的写作。让我立刻使我的iPad,让我把这个到屏幕上。好,很好。好吧,那么这个公式,我将谈论,它被称为欧拉公式,或者经常欧拉的身份。在这,我们这里有这个家伙欧拉标题中。
我只是对他说几句话。我可以给你一个图像,但它是更有趣,让我交换回来。是的,所以,所以这些图片,很明显,他们的邮票,对吧?这是一个从苏联邮票来自我猜这是1950年代中期。我认为这是欧拉的250岁生日。然后我们看到这张照片。
这其他的邮票,我认为这是来自德国的200周年,呃,可能是欧拉的死亡。显然,他是一个大事如果——在他的邮票,在俄罗斯和德国。那么他是谁呢?所以,伦纳德瑞士数学家欧拉是一个生活在1700年代,他是一个伟大的思想家,即使是数学家和其他科学家会的缩影,数学成就。
的创造性思维在数学科学的缩影。他,我,我不知道确切的数字,但他是如此多产,欧拉留下类似——我不知道——90年或100年的数学观点,,我想,你知道,有一段话,我可能会得到这个错误的。但我认为这是拉普拉斯,伟大的思想家之一,谁会告诉人们,你必须阅读欧拉如果你真的想知道什么是数学,因为欧拉主数学家,这是来自别人的角度他是主人的数学家,物理学家的大师。
所以,让我们得到这个,这个公式。让我把我的iPad。这不是上来。好了,现在,它的备份。好了,好了。好的,所以去那里,看,在这个美丽的小公式推导,还有很多路要走,你遵循的路线取决于你的背景,你在哪里在你的教育过程中,看看吧,有很多不同的人看我,我不知道在你任何的最好方式。
所以我需要一种方法是假设一个微积分的知识,但我的尝试,试图激励至少部分我可以激励,和其他成分,如果你不熟悉他们,你知道,我可以让它洗你,享受美丽的符号,或者使用我们的讨论作为动力来填写的一些细节。看,如果我是,你知道,无限的这些日常方程,我们覆盖了一切。我不能,所以我必须从某个地方开始。
所以我要开始是一个著名的定理,你学习微积分,这被称为泰勒定理,以及这将如何走?如下。它说,看,如果你有一些功能,我给它一个名字。有一些函数f (x),对吧?和泰勒定理是一种表达f (x)的价值功能,说,附近的一个点,我要叫x下标0附近。
你表达的价值函数附近的位置。现在,它不会完全平等,因为x可以不同于x0,那么如何捕获函数的值的差在这两个不同的地方吗?嗯,泰勒告诉我们,你可以得到答案如果你知道一些微积分通过查看函数的导数,计算x0,乘以x和x0之间的区别。
一般不会准确的回答。相反,泰勒说,你必须去二阶导数计算x0乘以x - x0平方,这个你必须通过除以2的阶乘。为了使它看起来都统一的,我可以把这个1 !如果我想要,和你继续。你去的三阶导数x0乘以x - x0立方/ 3的阶乘,和。
如果你小心,你要担心我写的这个系列的收敛,原则上,将无穷。我不会担心这些重要的细节。我只是假设一切都将工作和微妙之处不来和我们的咬的方式将失效的分析我们执行。好的,所以现在我想做的是把这个一般公式,原则上,适用于任何函数的适当行为。它可以区分任意多次,我要把它应用到两个熟悉的函数,这是cos (x和sin (x)。
再一次,我知道,如果你不知道什么是正弦和余弦,那么你可能不能遵守我所说的一切,但是都写在一个完整的方式。让我提醒你,如果我有这样的一个三角形,它真的需要满足在顶部,假设这个角是x。假设这斜边等于1,那么cos (x将水平边的长度,和sin (x)将垂直边的长度。
这就是我们所说的正弦和余弦值,如果你在微积分课程和学习的一些细节,你会学习,你就会知道的导数对x = cos (x - sin (x)和sin (x的导数对x = cos (x,这很好,因为有了知识,我们现在可以回到这里泰勒定理,我们可以把它应用到余弦和正弦。
我们为什么不这样做呢?让我改变颜色我们可以使这更流行。让我们看看cos (x,我们选择x0,附近的位置的值是0。这将是最有用的。特殊情况会对我们最有用的。
所以就堵了泰勒定理,我们应该看看cos(0,等于1。这个角x = 0时,你会发现水平三角形将完全等于斜边的一部分,所以它就等于1,现在让我们继续前进。但是为了避免写下的东西会消失,请注意,由于余弦函数的导数是sin sin(0 = 0,一阶项将会消失,所以我不会写它。
相反,我要正确的二阶项,如果正弦余弦函数的一阶导数,导数的正弦将给我们第二个订单,,如果我包括正弦,将- cos和cos (0 = 1。所以我们的系数就是- 1 / (2)。和楼上——事实上,我只是把它立即上楼。
楼上,我将x的平方。再一次,如果我去到三阶项,我将有一个来自正弦余弦函数的导数的二阶项。在0将给我们评估,所以这个词就会消失。我要去第四阶项,如果我那么做了,系数等于1。我将得到x的四次方/ 4的阶乘,它会。
所以我只得到这些甚至权力的扩张,甚至系数只是来自阶乘。好的,这很酷。这是cos。sin (x)让我做同样的事情。再一次,这是一个刚刚插入,同样的事情。
在这种特殊情况下,当我扩大x0等于0,第一阶项将给我们一个sin (0, 0。所以它滴。所以我必须去这个家伙。第0个阶项,我应该说,滴,所以我去第一阶项。导数在这种情况下会给我cos。评估在0给了我一个系数1,所以我只会为我的第一个任期内得到x。
同样,我将跳过下一项,因为它的导数会给我消失在0的词,所以我必须继续第三阶项。如果我这样做,我跟踪正弦,我会得到- x立方/ 3的阶乘,然后下一个学期将退出同样的推理,得到x的第五/ 5的阶乘。所以你看到的迹象,当然一个隐式。
sin得到奇怪的指数函数和余弦函数得到哪怕一个。这是很好。一个非常简单的正弦和余弦的泰勒级数展开。太棒了。
现在,这些结果在你的脑海中。现在,我想转到另一个函数。,乍一看,似乎没有连接到任何我所说的。让我介绍一个完全不同的颜色我不知道,也许是,也许是深绿色的区别,不是智力,而是还从颜色的角度来看,我使用。
——介绍这个,嗯,函数本身将函数e x。我应该说几句e是什么,因为它是很重要的公式。有很多方法来定义这个数字叫做e。再一次,这取决于你来自哪里。一个很好的方法是考虑以下。考虑当n→∞时的极限1 + 1 / n的n次方。
现在,首先,请注意这一定义,我们这里没有任何关系与三角形,余弦,正弦。再一次,这就是我说的看起来完全不同,但是让我给你一些动机为什么你会考虑这个特殊的组合。这个特定的限制,这个数字n→∞时。
为什么你思考过吗?嗯,想象一下,嗯,我给你1美元,好吗?我给你1美元。我说,嘿,如果你给我美元,我才会考虑贷款,我将付你利息。
假设我告诉你我要——在过去的一年,给你100%的利息,然后你会有多少钱在那一年的终结吗?多少,如果我银行,对了,你有多少钱在银行账户?你开始一美元,然后100%的利率意味着你会得到另一个美元。在一分钟内,我将停止写下这些美元的迹象。
所以你会有2美元。这很好。很好的兴趣,对吧?100%。然后想象一下,你会说,嘿,你知道,也许你想我利率支付利息,但不是全部。也许你想要六个月付我一半的兴趣,然后六个月后,给另一半的利率。
现在,这很有趣,因为这给你复利,对吧?在特定情况下,你会从1美元。月底好,六个月,我给你一半多1美元,然后六个月后,我付你利息,这再一次,如果我给你50%的利息,如果你愿意,每六个月,这是我欠你的钱。
如你所见,你要利息的利息在这种特定的情况下。这就是为什么它的复利。这给了我3/2(听不清)。给我9/4,说,2.25美元。
显然,这有点更好的如果你有兴趣化合物。而不是2美元,你得到2.25美元,然后你开始考虑,嘿,如果你——银行给你利息每四个月,一年三次。在这种情况下会发生什么?
好,现在,我必须给你1 + 1/3的兴趣第一的第三年,然后我会给你,再一次,1/3,33和1/3的兴趣第二——哦,我燃烧的力量。如果我的iPad死之前我做了什么?这将是如此痛苦。
支持我度过难关。好吧,我要写得更快。所以1 + 1/3。所以在这种情况下,你会得到,那是什么4/3立方体,所以这将是64年在27日,也就是2.26美元左右。比你之前的一点,再一次,对了,你可以继续。所以我没有写出来。
如果你在做季度复利,那么你会有1 + 1/4的四次方。啊哈,看。这是1 + 1 / n n, n等于4,在这种特殊情况下,如果你是这个工作,让我们来看看。这将给我们5第四/ 4的四次方。这将是625除以256,2,我认为0.44美元吗?就像这样。
不管怎样,你可以想象继续。如果你做了这个指数趋于无穷时,那是你的复利你无限快,但你得到1 /年度利息总额的数量在每一个部分,你会得到多少钱?这就是当n→∞时的极限1 + 1 / n的n次方,你可以出来工作。
明智的答案是,钱,你会得到2.72美元,或者如果你不会限制只是硬币的准确性,你得到的实际数量是一个——这是一个数字,永远的2.71828。你知道,这就像π,它永远继续。超越数,这是e的定义。
好,e是一个数字,你可以问问你自己,如果你把这个数字提高到权力称为x ?函数f (x),和您将学习,再一次,在微积分课是美丽的事实,这是另一种方式定义这个数字e e x的导数对x是本身,e x。这各种各样的深刻影响,正确的。如果一个函数的变化率在给定值给定的参数x =函数在x的值,那么它的增长速度正比于其自身的价值,这就是我们所说的指数增长——e指数增长,这是e x,指数增长。
所有这些想法都在一起。现在,鉴于这一事实,我们可以滚动,如果我回来,我希望我的iPad不会死。它的作用。我能感觉到它。哦,来吧,你会和我滚动吗?
啊,很好。也许我是太多的手指什么的。嗯,我现在可以使用泰勒定理,但应用到函数f (x) = e x。既然我拥有所有的衍生品,对我来说很简单的工作。再次,我将扩大x0等于0,那么我可以写e x。如果等于0 x0, e 0, 0是1,这将发生一次又一次,因为所有的衍生品是e的x。
他们都得到评估x0等于0,所以所有的衍生品无限扩张都等于1,所以我得到是x / 1) + x²/ 2 ! + x3除以3的阶乘,和。e x的扩张。好的,现在,一个成分才能到达美丽的结局,美丽的欧拉的身份。
我现在我想介绍一个小变化。不是e x,但e的第九。你还记得我吗?我等于- 1的平方根,对吧?通常,你不能把一个负数的平方根,但你可以定义这个新的数量叫我,这意味着我的平方等于- 1,这意味着我的立方等于负我,这意味着我的四次方等于1。
这都是有用的,因为当我插件e的第九,在这些表达式,我需要采取各种权力,不仅(x),还我。这个小表给我们我要的结果。我们就这样做。e的ix第九= (1 + 1)。现在,x²将涉及我的平方。
这是- 1,得到- x²/ 2的阶乘。好的,x立方将涉及我立方。我会得到- I乘以x立方/ 3的阶乘和x的第四学期我没有写下来,但这只会给我我的四次方等于1,所以我会得到x的四次方/ 4的阶乘,将继续走。
现在,让我玩一个小游戏,退出所有的条款没有我,这些术语,有一个我。所以条款,没有一个我给我1。事实上,我要改变颜色的风险。请,iPad,别死在我。所以我将得到1 - x²/ 2) + x第四/ 4的阶乘,它一直延续下去。
好吧,这是一个术语。加,并再次让我改变颜色。让我拿出一个我,我会得到第一项为x,然后下一项将在3 - x立方!从这个家伙,然后加上x的第五/ 5的阶乘,没写下来,但是它的存在。等等。
现在,你注意到这是什么?如果我可以向上滚动,您将注意到cos (x和sin (x)——这些我们此前扩张,如果我现在反思我这里,这就等于cos (x + I乘以sin (x)。神圣的抽烟。e的第九。东西似乎没有任何连接余弦和正弦,复利,毕竟这个美丽的关系,让我看看能不能把它带回来了,余弦和正弦。好,现在——现在的结局。对吧?
让x =π的值。然后特例给出了e的我π= cosπ+ sinπ。π= 0的正弦,余弦π= - 1,所以我们得到这奇特美丽的公式e iπ= - 1,但是我会写成e pi + 1等于0。
在这一点上,喇叭真的应该刺耳。每个人都应该站起来欢呼,嘴巴张开,因为这是这样一个奇妙的公式。看看里面有什么。在它美丽的蛋糕在我们理解的圈子里。
它有这个奇怪的号码我,- 1的平方根。它有这个奇怪的数字e来自之前我给了这个定义,和1号,数字0。像所有的材料,是一种基本的数学。0,1,我,π,e。
他们都聚集到这个非常漂亮,非常优雅的公式。这就是我们的意思是当我们谈论数学美和优雅。把这些不同的原料来自我们试图理解的圈子里,我们试图理解一个负数的平方根的古怪。我们试图理解这个限制的过程给了我们这个奇怪的数字e,当然,数量为0。
怎么能有什么比这更基本的吗?和它一起来这个美丽的公式,这个美丽的欧拉的身份。所以,你知道,盯着那个公式。油漆在你的墙上,纹身在你的手臂。它只是一个壮观的实现,这些成分可以一起在这样一个深刻的,然而看似简单,优雅,数学形式。这是数学之美。
好吧,这就是我今天想说的。直到下一次,照顾。这是你每天的方程。
这想法的艺术和美学和美丽和优雅,它都是在这个数学公式,这使得它,你知道,一个相当吸引人的话题,写,思考,也是一个很棒的小封装我们物理学家,数学家所说当他们谈论数学美。正如您将看到的方程,当我们得到它,它只是将在这样一个紧凑,优雅,经济方程数学世界的不同方面,并把不同的东西放在一起到小说模式——一个美丽的模式,模式,只是让你知道当你看,我们的意思是当我们讨论数学的美。
让我们进入方程,和这一个,我需要做大量的写作。让我立刻使我的iPad,让我把这个到屏幕上。好,很好。好吧,那么这个公式,我将谈论,它被称为欧拉公式,或者经常欧拉的身份。在这,我们这里有这个家伙欧拉标题中。
我只是对他说几句话。我可以给你一个图像,但它是更有趣,让我交换回来。是的,所以,所以这些图片,很明显,他们的邮票,对吧?这是一个从苏联邮票来自我猜这是1950年代中期。我认为这是欧拉的250岁生日。然后我们看到这张照片。
这其他的邮票,我认为这是来自德国的200周年,呃,可能是欧拉的死亡。显然,他是一个大事如果——在他的邮票,在俄罗斯和德国。那么他是谁呢?所以,伦纳德瑞士数学家欧拉是一个生活在1700年代,他是一个伟大的思想家,即使是数学家和其他科学家会的缩影,数学成就。
的创造性思维在数学科学的缩影。他,我,我不知道确切的数字,但他是如此多产,欧拉留下类似——我不知道——90年或100年的数学观点,,我想,你知道,有一段话,我可能会得到这个错误的。但我认为这是拉普拉斯,伟大的思想家之一,谁会告诉人们,你必须阅读欧拉如果你真的想知道什么是数学,因为欧拉主数学家,这是来自别人的角度他是主人的数学家,物理学家的大师。
所以,让我们得到这个,这个公式。让我把我的iPad。这不是上来。好了,现在,它的备份。好了,好了。好的,所以去那里,看,在这个美丽的小公式推导,还有很多路要走,你遵循的路线取决于你的背景,你在哪里在你的教育过程中,看看吧,有很多不同的人看我,我不知道在你任何的最好方式。
所以我需要一种方法是假设一个微积分的知识,但我的尝试,试图激励至少部分我可以激励,和其他成分,如果你不熟悉他们,你知道,我可以让它洗你,享受美丽的符号,或者使用我们的讨论作为动力来填写的一些细节。看,如果我是,你知道,无限的这些日常方程,我们覆盖了一切。我不能,所以我必须从某个地方开始。
所以我要开始是一个著名的定理,你学习微积分,这被称为泰勒定理,以及这将如何走?如下。它说,看,如果你有一些功能,我给它一个名字。有一些函数f (x),对吧?和泰勒定理是一种表达f (x)的价值功能,说,附近的一个点,我要叫x下标0附近。
你表达的价值函数附近的位置。现在,它不会完全平等,因为x可以不同于x0,那么如何捕获函数的值的差在这两个不同的地方吗?嗯,泰勒告诉我们,你可以得到答案如果你知道一些微积分通过查看函数的导数,计算x0,乘以x和x0之间的区别。
一般不会准确的回答。相反,泰勒说,你必须去二阶导数计算x0乘以x - x0平方,这个你必须通过除以2的阶乘。为了使它看起来都统一的,我可以把这个1 !如果我想要,和你继续。你去的三阶导数x0乘以x - x0立方/ 3的阶乘,和。
如果你小心,你要担心我写的这个系列的收敛,原则上,将无穷。我不会担心这些重要的细节。我只是假设一切都将工作和微妙之处不来和我们的咬的方式将失效的分析我们执行。好的,所以现在我想做的是把这个一般公式,原则上,适用于任何函数的适当行为。它可以区分任意多次,我要把它应用到两个熟悉的函数,这是cos (x和sin (x)。
再一次,我知道,如果你不知道什么是正弦和余弦,那么你可能不能遵守我所说的一切,但是都写在一个完整的方式。让我提醒你,如果我有这样的一个三角形,它真的需要满足在顶部,假设这个角是x。假设这斜边等于1,那么cos (x将水平边的长度,和sin (x)将垂直边的长度。
这就是我们所说的正弦和余弦值,如果你在微积分课程和学习的一些细节,你会学习,你就会知道的导数对x = cos (x - sin (x)和sin (x的导数对x = cos (x,这很好,因为有了知识,我们现在可以回到这里泰勒定理,我们可以把它应用到余弦和正弦。
我们为什么不这样做呢?让我改变颜色我们可以使这更流行。让我们看看cos (x,我们选择x0,附近的位置的值是0。这将是最有用的。特殊情况会对我们最有用的。
所以就堵了泰勒定理,我们应该看看cos(0,等于1。这个角x = 0时,你会发现水平三角形将完全等于斜边的一部分,所以它就等于1,现在让我们继续前进。但是为了避免写下的东西会消失,请注意,由于余弦函数的导数是sin sin(0 = 0,一阶项将会消失,所以我不会写它。
相反,我要正确的二阶项,如果正弦余弦函数的一阶导数,导数的正弦将给我们第二个订单,,如果我包括正弦,将- cos和cos (0 = 1。所以我们的系数就是- 1 / (2)。和楼上——事实上,我只是把它立即上楼。
楼上,我将x的平方。再一次,如果我去到三阶项,我将有一个来自正弦余弦函数的导数的二阶项。在0将给我们评估,所以这个词就会消失。我要去第四阶项,如果我那么做了,系数等于1。我将得到x的四次方/ 4的阶乘,它会。
所以我只得到这些甚至权力的扩张,甚至系数只是来自阶乘。好的,这很酷。这是cos。sin (x)让我做同样的事情。再一次,这是一个刚刚插入,同样的事情。
在这种特殊情况下,当我扩大x0等于0,第一阶项将给我们一个sin (0, 0。所以它滴。所以我必须去这个家伙。第0个阶项,我应该说,滴,所以我去第一阶项。导数在这种情况下会给我cos。评估在0给了我一个系数1,所以我只会为我的第一个任期内得到x。
同样,我将跳过下一项,因为它的导数会给我消失在0的词,所以我必须继续第三阶项。如果我这样做,我跟踪正弦,我会得到- x立方/ 3的阶乘,然后下一个学期将退出同样的推理,得到x的第五/ 5的阶乘。所以你看到的迹象,当然一个隐式。
sin得到奇怪的指数函数和余弦函数得到哪怕一个。这是很好。一个非常简单的正弦和余弦的泰勒级数展开。太棒了。
现在,这些结果在你的脑海中。现在,我想转到另一个函数。,乍一看,似乎没有连接到任何我所说的。让我介绍一个完全不同的颜色我不知道,也许是,也许是深绿色的区别,不是智力,而是还从颜色的角度来看,我使用。
——介绍这个,嗯,函数本身将函数e x。我应该说几句e是什么,因为它是很重要的公式。有很多方法来定义这个数字叫做e。再一次,这取决于你来自哪里。一个很好的方法是考虑以下。考虑当n→∞时的极限1 + 1 / n的n次方。
现在,首先,请注意这一定义,我们这里没有任何关系与三角形,余弦,正弦。再一次,这就是我说的看起来完全不同,但是让我给你一些动机为什么你会考虑这个特殊的组合。这个特定的限制,这个数字n→∞时。
为什么你思考过吗?嗯,想象一下,嗯,我给你1美元,好吗?我给你1美元。我说,嘿,如果你给我美元,我才会考虑贷款,我将付你利息。
假设我告诉你我要——在过去的一年,给你100%的利息,然后你会有多少钱在那一年的终结吗?多少,如果我银行,对了,你有多少钱在银行账户?你开始一美元,然后100%的利率意味着你会得到另一个美元。在一分钟内,我将停止写下这些美元的迹象。
所以你会有2美元。这很好。很好的兴趣,对吧?100%。然后想象一下,你会说,嘿,你知道,也许你想我利率支付利息,但不是全部。也许你想要六个月付我一半的兴趣,然后六个月后,给另一半的利率。
现在,这很有趣,因为这给你复利,对吧?在特定情况下,你会从1美元。月底好,六个月,我给你一半多1美元,然后六个月后,我付你利息,这再一次,如果我给你50%的利息,如果你愿意,每六个月,这是我欠你的钱。
如你所见,你要利息的利息在这种特定的情况下。这就是为什么它的复利。这给了我3/2(听不清)。给我9/4,说,2.25美元。
显然,这有点更好的如果你有兴趣化合物。而不是2美元,你得到2.25美元,然后你开始考虑,嘿,如果你——银行给你利息每四个月,一年三次。在这种情况下会发生什么?
好,现在,我必须给你1 + 1/3的兴趣第一的第三年,然后我会给你,再一次,1/3,33和1/3的兴趣第二——哦,我燃烧的力量。如果我的iPad死之前我做了什么?这将是如此痛苦。
支持我度过难关。好吧,我要写得更快。所以1 + 1/3。所以在这种情况下,你会得到,那是什么4/3立方体,所以这将是64年在27日,也就是2.26美元左右。比你之前的一点,再一次,对了,你可以继续。所以我没有写出来。
如果你在做季度复利,那么你会有1 + 1/4的四次方。啊哈,看。这是1 + 1 / n n, n等于4,在这种特殊情况下,如果你是这个工作,让我们来看看。这将给我们5第四/ 4的四次方。这将是625除以256,2,我认为0.44美元吗?就像这样。
不管怎样,你可以想象继续。如果你做了这个指数趋于无穷时,那是你的复利你无限快,但你得到1 /年度利息总额的数量在每一个部分,你会得到多少钱?这就是当n→∞时的极限1 + 1 / n的n次方,你可以出来工作。
明智的答案是,钱,你会得到2.72美元,或者如果你不会限制只是硬币的准确性,你得到的实际数量是一个——这是一个数字,永远的2.71828。你知道,这就像π,它永远继续。超越数,这是e的定义。
好,e是一个数字,你可以问问你自己,如果你把这个数字提高到权力称为x ?函数f (x),和您将学习,再一次,在微积分课是美丽的事实,这是另一种方式定义这个数字e e x的导数对x是本身,e x。这各种各样的深刻影响,正确的。如果一个函数的变化率在给定值给定的参数x =函数在x的值,那么它的增长速度正比于其自身的价值,这就是我们所说的指数增长——e指数增长,这是e x,指数增长。
所有这些想法都在一起。现在,鉴于这一事实,我们可以滚动,如果我回来,我希望我的iPad不会死。它的作用。我能感觉到它。哦,来吧,你会和我滚动吗?
啊,很好。也许我是太多的手指什么的。嗯,我现在可以使用泰勒定理,但应用到函数f (x) = e x。既然我拥有所有的衍生品,对我来说很简单的工作。再次,我将扩大x0等于0,那么我可以写e x。如果等于0 x0, e 0, 0是1,这将发生一次又一次,因为所有的衍生品是e的x。
他们都得到评估x0等于0,所以所有的衍生品无限扩张都等于1,所以我得到是x / 1) + x²/ 2 ! + x3除以3的阶乘,和。e x的扩张。好的,现在,一个成分才能到达美丽的结局,美丽的欧拉的身份。
我现在我想介绍一个小变化。不是e x,但e的第九。你还记得我吗?我等于- 1的平方根,对吧?通常,你不能把一个负数的平方根,但你可以定义这个新的数量叫我,这意味着我的平方等于- 1,这意味着我的立方等于负我,这意味着我的四次方等于1。
这都是有用的,因为当我插件e的第九,在这些表达式,我需要采取各种权力,不仅(x),还我。这个小表给我们我要的结果。我们就这样做。e的ix第九= (1 + 1)。现在,x²将涉及我的平方。
这是- 1,得到- x²/ 2的阶乘。好的,x立方将涉及我立方。我会得到- I乘以x立方/ 3的阶乘和x的第四学期我没有写下来,但这只会给我我的四次方等于1,所以我会得到x的四次方/ 4的阶乘,将继续走。
现在,让我玩一个小游戏,退出所有的条款没有我,这些术语,有一个我。所以条款,没有一个我给我1。事实上,我要改变颜色的风险。请,iPad,别死在我。所以我将得到1 - x²/ 2) + x第四/ 4的阶乘,它一直延续下去。
好吧,这是一个术语。加,并再次让我改变颜色。让我拿出一个我,我会得到第一项为x,然后下一项将在3 - x立方!从这个家伙,然后加上x的第五/ 5的阶乘,没写下来,但是它的存在。等等。
现在,你注意到这是什么?如果我可以向上滚动,您将注意到cos (x和sin (x)——这些我们此前扩张,如果我现在反思我这里,这就等于cos (x + I乘以sin (x)。神圣的抽烟。e的第九。东西似乎没有任何连接余弦和正弦,复利,毕竟这个美丽的关系,让我看看能不能把它带回来了,余弦和正弦。好,现在——现在的结局。对吧?
让x =π的值。然后特例给出了e的我π= cosπ+ sinπ。π= 0的正弦,余弦π= - 1,所以我们得到这奇特美丽的公式e iπ= - 1,但是我会写成e pi + 1等于0。
在这一点上,喇叭真的应该刺耳。每个人都应该站起来欢呼,嘴巴张开,因为这是这样一个奇妙的公式。看看里面有什么。在它美丽的蛋糕在我们理解的圈子里。
它有这个奇怪的号码我,- 1的平方根。它有这个奇怪的数字e来自之前我给了这个定义,和1号,数字0。像所有的材料,是一种基本的数学。0,1,我,π,e。
他们都聚集到这个非常漂亮,非常优雅的公式。这就是我们的意思是当我们谈论数学美和优雅。把这些不同的原料来自我们试图理解的圈子里,我们试图理解一个负数的平方根的古怪。我们试图理解这个限制的过程给了我们这个奇怪的数字e,当然,数量为0。
怎么能有什么比这更基本的吗?和它一起来这个美丽的公式,这个美丽的欧拉的身份。所以,你知道,盯着那个公式。油漆在你的墙上,纹身在你的手臂。它只是一个壮观的实现,这些成分可以一起在这样一个深刻的,然而看似简单,优雅,数学形式。这是数学之美。
好吧,这就是我今天想说的。直到下一次,照顾。这是你每天的方程。