薛定谔方程:量子力学的核心
薛定谔方程是量子力学的核心。Brian Greene解释……
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BRIAN GREENE:嗨,大家好。欢迎来你知道吗,你每天的方程。是的,一个集日常方程。今天我要关注最重要的一个基本物理方程。它是量子力学方程的关键,我想让我跳起来在我的座位上,对吧?
这是一个关键的量子力学方程。许多人会说这是量子力学方程,薛定谔方程。薛定谔方程。首先,很高兴有一个他自己的照片,这个人自己想出来,我先把这个在屏幕上。所以,漂亮,英俊的欧文薛定谔,绅士是谁想出了一个方程,描述了量子概率波演变。
为了让我们所有正确的心态,让我提醒你我们所说的一个概率波。我们看到一个在这里,可视化与这个蓝色起伏的表面。和直观的想法是,位置波动大,有一个大概率找到粒子。假设这是概率波,电子的波函数。波的地方很小,找到电子的概率小,和波消失的地方,根本就没有机会找到电子的。
这就是量子力学能够作出预测。但进行预测在任何给定的情况下,你需要知道精确的概率波,波函数是什么样子。因此,您需要一个方程,告诉你如何塑造起伏,会随着时间而改变。所以你可以,例如,给方程,波的形状看起来像在任何给定的时刻,然后方程将齿轮,齿轮,使物理波会随着时间改变的决定。
所以你需要知道方程,这个方程是薛定谔方程。事实上,我可以示意图说明方程。你看到它在顶部。你可以看到有一些符号。希望他们很常见,但如果他们不,没关系。再次,你可以在此讨论,这些讨论的或任何我应该说讨论——在任何水平,感觉舒适。如果你想遵循所有的细节,你可能要做一些进一步的挖掘,或者你有一些背景。
但是我有给我写信的人说,我很高兴听到这个,他们说,不要听你谈论的一切在这些小集。但是人们说,嘿,我只是喜欢看符号和刚刚一个粗略的意义上的严格数学背后的一些想法,很多人都听说过很长一段时间,但他们只是从未见过的方程。
好的,所以我现在要做的是给你一些的薛定谔方程是从哪里来的。所以我必须做一些写作。让我带——哦,对不起。位置。好,它仍然是在相机的帧。好。把我的iPad屏幕上。
所以今天的主题是薛定谔方程。这并不是一个你可以从第一原理推导出的方程,对吧?这个方程,在最好的情况下,你可以激励,我将试图激励方程的形式为你。但最终的相关性方程在物理管理,或者我应该说,确定预测它的预测是多么的密切观察。
所以在一天结束的时候,我可以只是说,这是薛定谔方程。让我们看看预测。让我们看一下观察。让我们看一下实验。如果方程与观测相匹配,如果匹配实验,然后我们说,嘿,这是值得被视为一个基本物理方程,无论从任何我可以推出之前,更根本的出发点。然而,这是一个好主意,如果你能得到一些直觉的关键方程从哪里来,获得理解。
让我们看看我们能有多远。在传统的符号,我们常常表示单个粒子的波函数。我要看一个相对论粒子朝着一个空间维度。稍后我将概括它,在这节课中或后续,但是现在让我们保持简单。
所以x代表地位和t代表。再一次,这个来自看着psi的概率解释xt。范数的平方,这给了我们一个非零的数,我们可以将其解释为一个概率是否正确归一化波函数。我们确保所有的概率之和等于1。如果它不等于1,我们把概率波,说,这个数字的平方根,以便新的重整版本的概率波满足适当的归一化条件。好,很好。
现在,我们讨论的是波,当你谈论波,自然功能进入故事是正弦函数,说,余弦函数,因为这些,他们是典型的波形状,所以它是值得的,我们聚焦于那些家伙。事实上,我将介绍一个特定组合。
你可能记得第九e = cos (x +我sin (x),你可能会说,我为什么要引入特定的组合?一会儿,它将变得清晰,但是现在,您可以简单地认为它是一个方便的快捷方式,同时让我谈论正弦和余弦,而不必考虑它们明显,分别考虑。
你会记得,这个公式是一个我们讨论了在前面的情节,你可以回去检查一下,或许你已经知道这个奇妙的事实。但是这代表了波在空间位置,也就是说,一个形状看起来像它传统的正弦和余弦函数的起伏。
但我们希望的方式改变随着时间的推移,有一个直接的方法来修改这个公式包括。让我给你我们使用的标准方法。所以我们经常可以说sin (x)和t——为了使它的波形变化通过时间——e i kx -ωt是我们描述这样一波又一波的最简单的版本。
来自哪里?好吧,如果你仔细想想,想想e i kx这样的波形,忘记时间的部分。但是如果你包括一部分的时间,注意到随着时间的变大,假设你关注这波的峰值——随着时间的变大,如果一切是积极的在这个表达式,x需要变大,以便参数保持不变,这就意味着如果我们聚焦在一个点,高峰,你想要的价值,峰值保持不变。
如果t变大,变大。如果x变大,那么这波已经结束,然后这个代表波传播的数量,向右。所以这里的组合,kx -ωt,是一个非常简单的,直接的方法来确保我们讨论一个波,不仅有形状x,但实际上时间的变化。
好了,这只是我们的起点,一个自然的形式的波,我们可以看一看。现在我要做的是增加一些物理。这只是设置。你可以想想,随着数学的起点。现在我们可以介绍一些物理的,我们也有了一些早期发作,再一次,我会尽量保持大致自包含的、但我不能超过一切。
所以如果你想回去,你可以刷新自己在这美丽,小公式,在量子力学中,粒子的动量相关——哦,我碰巧让这个大——与波的波长λ表达式,h是普朗克常数。因此,你可以把它写成λ= h / p。
现在,我提醒你这个特定的原因,在这个表达式,我们在这里,我们可以写下的波长系数k。我们该怎么做?假设x x +λ,波长。你可以想想,随着距离,如果你愿意,从一个顶峰到另一个波长λ。
如果x x +λ,我们希望波的值不变。但是在这个表达式,如果你取代x, x +λ,你会得到一个额外的术语,将表单的e的我k乘以λ。
如果你想等于1,好吧,你可能还记得这个美丽的结果,我们讨论了e iπ= - 1,这意味着e 2π的平方,这必须+ 1。这告诉我们,如果k乘以λ,例如,等于2π,那么这个额外的因素得到坚持x = x +λ在初始拟设波,将保持不变。
因此,我们得到了不错的结果,我们可以写,说,λ= 2π除以k。和使用,在这里的表达,我们得到,说,2π除以k = h / p。我要把它写成p =香港除以2π。
和我要介绍一小块我们物理学家喜欢使用的符号。我将普朗克常数的定义一个版本,叫做h酒吧,酒吧里那个小酒吧经历的h -我们将定义这是h除以2π,因为结合h除以2π作物。
和符号,我可以写p = h与p k。所以,粒子的动量,我现在有一个物理量的关系,p波的形式,我们在这里。这家伙在这里,我们现在看到的,是与粒子的动量密切相关。好。
好,现在让我们向其他粒子的特性是至关重要的一个处理当你谈论粒子运动,这是一个粒子的能量。现在,你会记得,一次又一次,我们只是拼凑很多单独的个人见解和使用它们来激励方程的形式,我们将到达。你可能记得,说,从我们的光电效应不错的结果,这些能量等于h普朗克常数乘以频率ν。好。
现在,我们该如何利用呢?在这种形式的波函数的一部分,你有时间依赖性。记住,和频率是速度波形起伏的通过时间。所以我们可以用它来谈论这个特殊的波的频率。我会玩相同的游戏,我做了,但现在我将使用t部分而不是x部分,即想象取代t趋于t + 1的频率。1的频率。
频率,每时间周期。所以你把颠倒了,你有时间每循环。如果你经过一个周期,应该1 /ν,说,在几秒钟内。现在,如果这真的是一个完整的周期,同样,波应该返回值在时间t,好吗?
现在,不是吗?好吧,让我们看看楼上。所以我们有这个组合,ω乘以t。所以ω乘以t怎么办?ω乘以t,当你允许t增加1 /ν,将去的ων额外因素。你还有第一项的ωt在这里,但是你有这个额外的块。我们想要额外的块,再一次,不影响的价值的方式确保它有返回值在时间t。
会的情况,例如,ων等于2π,因为,再一次,我们必须,因此,e iων,e i 2π,等于1。不影响值的概率波,波函数。
好,那么,那么,我们可以写,说,ν等于2π除以ω。然后使用我们表达e h =ν,我们现在可以写成2π,哎呀,我写了这个错误的方式。很抱歉。你们需要纠正我如果我犯了一个错误。让我回到这里不是荒谬的。
所以ν,我们了解到,等于ω除以2π。这就是我想写。你们不想纠正我,我知道,因为你认为我是不好意思,但是你应该随时在任何时候如果我做一个印刷错误。好。好的。
现在我们可以回到我们表达对能源,hν,和写,h除以2π乘以ω,h酒吧ω。好吧,这是与上面的表达式,我们为动力,被这个家伙。
现在,这是两个非常好的公式,因为他们正在采取这种形式的概率波,我们开始,这个家伙,现在我们有了相关k和ω粒子的物理特性。,因为他们是与粒子的物理特性有关,我们现在可以使用更多的物理找到这些物理性质之间的关系。
因为能量,你会记得,我只是做相对论。所以我不使用任何相对论的想法。他们只是高中物理标准。我们可以谈论能源,说,让我开始动能,我会包括势能接近尾声。
你会记得,但动能是1/2 mv的平方。和使用非相对论表达式p = mv,我们可以写成p的平方除以2 m,好吗?现在,为什么有用?我们知道,从上面的,这个家伙,是h酒吧k。所以我可以把这个写成h k的平方除以2 m。
和现在我们认识到从上面的关系,我对在这里。让我改变颜色,因为这是单调的。所以从这个家伙,e h酒吧ω。所以我们得到h酒吧ω等于h k的平方除以2 m。
现在,这很有趣,因为如果我们现在回去,为什么这事不滚动的方式吗?好了。如果我们记住psi (x)和t是我们拟设。它说e i kx -ωt。我们知道,最终我们将拍摄的微分方程,这将告诉我们如何波的概率会随着时间而改变。
我们必须想出一个微分方程,这将要求k项和ω项——项,我应该说,站在这个特定的关系,h酒吧ω,h k的平方除以2 m。我们该怎么做?嗯,非常简单。让我们开始采取一些衍生品,首先对x。
如果你看看d psi dx,我们得到什么?嗯,那这个家伙的本土知识。然后剩下的,因为一个指数的导数是指数,模系数在前面拉下来。这是本土知识*ψ(x和t。
好吧,但这有一个k的平方,所以让我们做一个导数,d2ψdx平方。嗯,这做的是降低本土知识的一个因素。本土知识得到x的平方乘以psi和t,换句话说- k x的平方乘以psi和t,自从我的平方等于- 1。
好吧,这很好。所以我们有k的平方。事实上,如果我们想要这个词在这里。这并不难安排,对吗?所以我需要做的就是把- h酒吧的平方。哦,不。再次耗尽电池。这个东西这么快耗尽了电池。我真的要生气,如果这事死之前完成。这里我再次在这种情况下,但我认为我们有足够的果汁,让它通过。
无论如何,所以我要把一个平方除以2 m - h酒吧在我面前d2ψdx平方。为什么我这样做?因为当我把这个负号加上这个负号,这个前因子,这个,的确,酒吧会给我h k的平方除以2 m乘以x和t的psi。这样很好。所以我有这种关系的右边。
现在我需要时间衍生品。为什么时间衍生品吗?因为如果我想要得到这个表达式的ω,唯一的办法就是通过时间导数。让我们看一看,改变颜色来区别。
所以d psi dt,这给了我们什么呢?再次,唯一重要的是t系数下拉。所以我得到-ωpsi (x)和t,指数,当你把它的导数,给出了本身,论点的系数的指数。
这几乎就像这样。我可以让它正是一个h酒吧ω,只要达到这个用- ih酒吧在前面。并按一个ih酒吧前,或- ih酒吧,我做这个正确吗?不,我不需要一个负号。我在做什么?让我摆脱这个家伙。
是的,如果我有我和ih酒吧这里乘以我的- - -。是的,在这里。所以我和-我将乘在一起给我一个1倍。所以我就有一个ωψ(x和t h酒吧。
这是非常好的。所以我有h酒吧ω。事实上,我可以挤下来一点。我可以吗?不,我不能,很遗憾。所以我有h酒吧ω,我从d psi dt ih酒吧。和我有h酒吧k的平方除以2 m,我那家伙从我的平方除以2 m - h酒吧d2ψdx平方。
所以我可以实施这个等式的微分方程。我改变颜色,因为现在我们这里的结束。我应该使用什么?什么,漂亮的深蓝色。所以我有我酒吧d psi dt等于平方除以2 m - h酒吧d2ψdx平方。
你瞧,这是薛定谔方程的非相对论运动一个空间维度——只有一个x的粒子没有受到外力的影响。什么我的意思是,你可能还记得,如果我们回到这里,我说我集中我的注意力的能量,这是动能。
如果一个粒子是不受到外力的影响,将其全部的能量。但总的来说,如果一个粒子受到一个力的潜力,这潜力,v (x)给了我们额外的能量从外面——这不是内在的能量来自于粒子的运动。它来自粒子受到一个力,引力、电磁力,等等。
你会如何包括在这个方程吗?好了,很简单。我们处理的动能全部能量,这就是给我们这个家伙在这里。这来自p的平方除以2 m。但动能现在应该去动能和势能,这可能取决于粒子的位置。
那么自然的方式包括,只是修改右边。所以我们有ih酒吧d psi dt等于平方除以2 m - h酒吧d2 psi dx平方加——加入这个额外的块,v (x乘以psi (x)。这就是全部的非相对论粒子薛定谔方程的形式受到外力的影响,其潜力是由这个表达式,给出v (x,朝着一个空间维度。
所以它有点艰难把这种形式的方程。再次,至少应该给你一个碎片从何而来。但是让我完成了就告诉你为什么我们认真对待这个方程。原因是,实际上,我告诉你最后一件事。
假设我在看,我就再一次在这里示意图。所以想象一下我看,说,psi的平方在给定的时刻。假设它有一些特定的形状作为x的函数。
这些山峰,这些有点小地点等等,都给我们的概率粒子在这个位置,这意味着如果你运行相同的实验,一遍又一遍,说,测量粒子的位置在相同数量的t,相同数量的一些初始配置的运行时间,你只是做一个直方图多少次你发现粒子在一个地方或另一个,说,1000年的实验中,你会发现这些直方图填写这个概率概要文件。
如果是这样的话,那么概率概要文件是准确地描述你的实验的结果。让我告诉你。再一次,这是完全示意图。让我把这家伙在这里。蓝色曲线是常态的平方概率波在一个给定的时刻。
我们做这个实验时,发现粒子的位置很多,许多实验的运行。我要把一个x每次我找到位置的粒子在一个值与另一个。你可以看到,随着时间的推移,直方图确实填写概率波的形状。也就是说,标准量子力学的波函数的平方。
当然,这只是一个模拟,一曲,但如果你看看真实世界的数据,概率资料给我们解决了薛定谔方程的波函数,实际上,描述你在哪里找到的概率分布粒子在许多,许多运行相同的准备实验。最终,就是为什么我们认真对待薛定谔方程。
我给你的动机应该给你一个对方程的各个部分是从哪里来的,但是最终,它是一个实验问题的方程与现实世界现象。和薛定谔方程,通过测量,通过,在近100年,出色地。
好吧,这就是我今天想说的。量子力学的薛定谔方程,方程的关键。这应该给你一个感觉,它从哪里来,为什么我们相信,最终它描述了现实。直到下一次,这是你每天的方程。照顾。
这是一个关键的量子力学方程。许多人会说这是量子力学方程,薛定谔方程。薛定谔方程。首先,很高兴有一个他自己的照片,这个人自己想出来,我先把这个在屏幕上。所以,漂亮,英俊的欧文薛定谔,绅士是谁想出了一个方程,描述了量子概率波演变。
为了让我们所有正确的心态,让我提醒你我们所说的一个概率波。我们看到一个在这里,可视化与这个蓝色起伏的表面。和直观的想法是,位置波动大,有一个大概率找到粒子。假设这是概率波,电子的波函数。波的地方很小,找到电子的概率小,和波消失的地方,根本就没有机会找到电子的。
这就是量子力学能够作出预测。但进行预测在任何给定的情况下,你需要知道精确的概率波,波函数是什么样子。因此,您需要一个方程,告诉你如何塑造起伏,会随着时间而改变。所以你可以,例如,给方程,波的形状看起来像在任何给定的时刻,然后方程将齿轮,齿轮,使物理波会随着时间改变的决定。
所以你需要知道方程,这个方程是薛定谔方程。事实上,我可以示意图说明方程。你看到它在顶部。你可以看到有一些符号。希望他们很常见,但如果他们不,没关系。再次,你可以在此讨论,这些讨论的或任何我应该说讨论——在任何水平,感觉舒适。如果你想遵循所有的细节,你可能要做一些进一步的挖掘,或者你有一些背景。
但是我有给我写信的人说,我很高兴听到这个,他们说,不要听你谈论的一切在这些小集。但是人们说,嘿,我只是喜欢看符号和刚刚一个粗略的意义上的严格数学背后的一些想法,很多人都听说过很长一段时间,但他们只是从未见过的方程。
好的,所以我现在要做的是给你一些的薛定谔方程是从哪里来的。所以我必须做一些写作。让我带——哦,对不起。位置。好,它仍然是在相机的帧。好。把我的iPad屏幕上。
所以今天的主题是薛定谔方程。这并不是一个你可以从第一原理推导出的方程,对吧?这个方程,在最好的情况下,你可以激励,我将试图激励方程的形式为你。但最终的相关性方程在物理管理,或者我应该说,确定预测它的预测是多么的密切观察。
所以在一天结束的时候,我可以只是说,这是薛定谔方程。让我们看看预测。让我们看一下观察。让我们看一下实验。如果方程与观测相匹配,如果匹配实验,然后我们说,嘿,这是值得被视为一个基本物理方程,无论从任何我可以推出之前,更根本的出发点。然而,这是一个好主意,如果你能得到一些直觉的关键方程从哪里来,获得理解。
让我们看看我们能有多远。在传统的符号,我们常常表示单个粒子的波函数。我要看一个相对论粒子朝着一个空间维度。稍后我将概括它,在这节课中或后续,但是现在让我们保持简单。
所以x代表地位和t代表。再一次,这个来自看着psi的概率解释xt。范数的平方,这给了我们一个非零的数,我们可以将其解释为一个概率是否正确归一化波函数。我们确保所有的概率之和等于1。如果它不等于1,我们把概率波,说,这个数字的平方根,以便新的重整版本的概率波满足适当的归一化条件。好,很好。
现在,我们讨论的是波,当你谈论波,自然功能进入故事是正弦函数,说,余弦函数,因为这些,他们是典型的波形状,所以它是值得的,我们聚焦于那些家伙。事实上,我将介绍一个特定组合。
你可能记得第九e = cos (x +我sin (x),你可能会说,我为什么要引入特定的组合?一会儿,它将变得清晰,但是现在,您可以简单地认为它是一个方便的快捷方式,同时让我谈论正弦和余弦,而不必考虑它们明显,分别考虑。
你会记得,这个公式是一个我们讨论了在前面的情节,你可以回去检查一下,或许你已经知道这个奇妙的事实。但是这代表了波在空间位置,也就是说,一个形状看起来像它传统的正弦和余弦函数的起伏。
但我们希望的方式改变随着时间的推移,有一个直接的方法来修改这个公式包括。让我给你我们使用的标准方法。所以我们经常可以说sin (x)和t——为了使它的波形变化通过时间——e i kx -ωt是我们描述这样一波又一波的最简单的版本。
来自哪里?好吧,如果你仔细想想,想想e i kx这样的波形,忘记时间的部分。但是如果你包括一部分的时间,注意到随着时间的变大,假设你关注这波的峰值——随着时间的变大,如果一切是积极的在这个表达式,x需要变大,以便参数保持不变,这就意味着如果我们聚焦在一个点,高峰,你想要的价值,峰值保持不变。
如果t变大,变大。如果x变大,那么这波已经结束,然后这个代表波传播的数量,向右。所以这里的组合,kx -ωt,是一个非常简单的,直接的方法来确保我们讨论一个波,不仅有形状x,但实际上时间的变化。
好了,这只是我们的起点,一个自然的形式的波,我们可以看一看。现在我要做的是增加一些物理。这只是设置。你可以想想,随着数学的起点。现在我们可以介绍一些物理的,我们也有了一些早期发作,再一次,我会尽量保持大致自包含的、但我不能超过一切。
所以如果你想回去,你可以刷新自己在这美丽,小公式,在量子力学中,粒子的动量相关——哦,我碰巧让这个大——与波的波长λ表达式,h是普朗克常数。因此,你可以把它写成λ= h / p。
现在,我提醒你这个特定的原因,在这个表达式,我们在这里,我们可以写下的波长系数k。我们该怎么做?假设x x +λ,波长。你可以想想,随着距离,如果你愿意,从一个顶峰到另一个波长λ。
如果x x +λ,我们希望波的值不变。但是在这个表达式,如果你取代x, x +λ,你会得到一个额外的术语,将表单的e的我k乘以λ。
如果你想等于1,好吧,你可能还记得这个美丽的结果,我们讨论了e iπ= - 1,这意味着e 2π的平方,这必须+ 1。这告诉我们,如果k乘以λ,例如,等于2π,那么这个额外的因素得到坚持x = x +λ在初始拟设波,将保持不变。
因此,我们得到了不错的结果,我们可以写,说,λ= 2π除以k。和使用,在这里的表达,我们得到,说,2π除以k = h / p。我要把它写成p =香港除以2π。
和我要介绍一小块我们物理学家喜欢使用的符号。我将普朗克常数的定义一个版本,叫做h酒吧,酒吧里那个小酒吧经历的h -我们将定义这是h除以2π,因为结合h除以2π作物。
和符号,我可以写p = h与p k。所以,粒子的动量,我现在有一个物理量的关系,p波的形式,我们在这里。这家伙在这里,我们现在看到的,是与粒子的动量密切相关。好。
好,现在让我们向其他粒子的特性是至关重要的一个处理当你谈论粒子运动,这是一个粒子的能量。现在,你会记得,一次又一次,我们只是拼凑很多单独的个人见解和使用它们来激励方程的形式,我们将到达。你可能记得,说,从我们的光电效应不错的结果,这些能量等于h普朗克常数乘以频率ν。好。
现在,我们该如何利用呢?在这种形式的波函数的一部分,你有时间依赖性。记住,和频率是速度波形起伏的通过时间。所以我们可以用它来谈论这个特殊的波的频率。我会玩相同的游戏,我做了,但现在我将使用t部分而不是x部分,即想象取代t趋于t + 1的频率。1的频率。
频率,每时间周期。所以你把颠倒了,你有时间每循环。如果你经过一个周期,应该1 /ν,说,在几秒钟内。现在,如果这真的是一个完整的周期,同样,波应该返回值在时间t,好吗?
现在,不是吗?好吧,让我们看看楼上。所以我们有这个组合,ω乘以t。所以ω乘以t怎么办?ω乘以t,当你允许t增加1 /ν,将去的ων额外因素。你还有第一项的ωt在这里,但是你有这个额外的块。我们想要额外的块,再一次,不影响的价值的方式确保它有返回值在时间t。
会的情况,例如,ων等于2π,因为,再一次,我们必须,因此,e iων,e i 2π,等于1。不影响值的概率波,波函数。
好,那么,那么,我们可以写,说,ν等于2π除以ω。然后使用我们表达e h =ν,我们现在可以写成2π,哎呀,我写了这个错误的方式。很抱歉。你们需要纠正我如果我犯了一个错误。让我回到这里不是荒谬的。
所以ν,我们了解到,等于ω除以2π。这就是我想写。你们不想纠正我,我知道,因为你认为我是不好意思,但是你应该随时在任何时候如果我做一个印刷错误。好。好的。
现在我们可以回到我们表达对能源,hν,和写,h除以2π乘以ω,h酒吧ω。好吧,这是与上面的表达式,我们为动力,被这个家伙。
现在,这是两个非常好的公式,因为他们正在采取这种形式的概率波,我们开始,这个家伙,现在我们有了相关k和ω粒子的物理特性。,因为他们是与粒子的物理特性有关,我们现在可以使用更多的物理找到这些物理性质之间的关系。
因为能量,你会记得,我只是做相对论。所以我不使用任何相对论的想法。他们只是高中物理标准。我们可以谈论能源,说,让我开始动能,我会包括势能接近尾声。
你会记得,但动能是1/2 mv的平方。和使用非相对论表达式p = mv,我们可以写成p的平方除以2 m,好吗?现在,为什么有用?我们知道,从上面的,这个家伙,是h酒吧k。所以我可以把这个写成h k的平方除以2 m。
和现在我们认识到从上面的关系,我对在这里。让我改变颜色,因为这是单调的。所以从这个家伙,e h酒吧ω。所以我们得到h酒吧ω等于h k的平方除以2 m。
现在,这很有趣,因为如果我们现在回去,为什么这事不滚动的方式吗?好了。如果我们记住psi (x)和t是我们拟设。它说e i kx -ωt。我们知道,最终我们将拍摄的微分方程,这将告诉我们如何波的概率会随着时间而改变。
我们必须想出一个微分方程,这将要求k项和ω项——项,我应该说,站在这个特定的关系,h酒吧ω,h k的平方除以2 m。我们该怎么做?嗯,非常简单。让我们开始采取一些衍生品,首先对x。
如果你看看d psi dx,我们得到什么?嗯,那这个家伙的本土知识。然后剩下的,因为一个指数的导数是指数,模系数在前面拉下来。这是本土知识*ψ(x和t。
好吧,但这有一个k的平方,所以让我们做一个导数,d2ψdx平方。嗯,这做的是降低本土知识的一个因素。本土知识得到x的平方乘以psi和t,换句话说- k x的平方乘以psi和t,自从我的平方等于- 1。
好吧,这很好。所以我们有k的平方。事实上,如果我们想要这个词在这里。这并不难安排,对吗?所以我需要做的就是把- h酒吧的平方。哦,不。再次耗尽电池。这个东西这么快耗尽了电池。我真的要生气,如果这事死之前完成。这里我再次在这种情况下,但我认为我们有足够的果汁,让它通过。
无论如何,所以我要把一个平方除以2 m - h酒吧在我面前d2ψdx平方。为什么我这样做?因为当我把这个负号加上这个负号,这个前因子,这个,的确,酒吧会给我h k的平方除以2 m乘以x和t的psi。这样很好。所以我有这种关系的右边。
现在我需要时间衍生品。为什么时间衍生品吗?因为如果我想要得到这个表达式的ω,唯一的办法就是通过时间导数。让我们看一看,改变颜色来区别。
所以d psi dt,这给了我们什么呢?再次,唯一重要的是t系数下拉。所以我得到-ωpsi (x)和t,指数,当你把它的导数,给出了本身,论点的系数的指数。
这几乎就像这样。我可以让它正是一个h酒吧ω,只要达到这个用- ih酒吧在前面。并按一个ih酒吧前,或- ih酒吧,我做这个正确吗?不,我不需要一个负号。我在做什么?让我摆脱这个家伙。
是的,如果我有我和ih酒吧这里乘以我的- - -。是的,在这里。所以我和-我将乘在一起给我一个1倍。所以我就有一个ωψ(x和t h酒吧。
这是非常好的。所以我有h酒吧ω。事实上,我可以挤下来一点。我可以吗?不,我不能,很遗憾。所以我有h酒吧ω,我从d psi dt ih酒吧。和我有h酒吧k的平方除以2 m,我那家伙从我的平方除以2 m - h酒吧d2ψdx平方。
所以我可以实施这个等式的微分方程。我改变颜色,因为现在我们这里的结束。我应该使用什么?什么,漂亮的深蓝色。所以我有我酒吧d psi dt等于平方除以2 m - h酒吧d2ψdx平方。
你瞧,这是薛定谔方程的非相对论运动一个空间维度——只有一个x的粒子没有受到外力的影响。什么我的意思是,你可能还记得,如果我们回到这里,我说我集中我的注意力的能量,这是动能。
如果一个粒子是不受到外力的影响,将其全部的能量。但总的来说,如果一个粒子受到一个力的潜力,这潜力,v (x)给了我们额外的能量从外面——这不是内在的能量来自于粒子的运动。它来自粒子受到一个力,引力、电磁力,等等。
你会如何包括在这个方程吗?好了,很简单。我们处理的动能全部能量,这就是给我们这个家伙在这里。这来自p的平方除以2 m。但动能现在应该去动能和势能,这可能取决于粒子的位置。
那么自然的方式包括,只是修改右边。所以我们有ih酒吧d psi dt等于平方除以2 m - h酒吧d2 psi dx平方加——加入这个额外的块,v (x乘以psi (x)。这就是全部的非相对论粒子薛定谔方程的形式受到外力的影响,其潜力是由这个表达式,给出v (x,朝着一个空间维度。
所以它有点艰难把这种形式的方程。再次,至少应该给你一个碎片从何而来。但是让我完成了就告诉你为什么我们认真对待这个方程。原因是,实际上,我告诉你最后一件事。
假设我在看,我就再一次在这里示意图。所以想象一下我看,说,psi的平方在给定的时刻。假设它有一些特定的形状作为x的函数。
这些山峰,这些有点小地点等等,都给我们的概率粒子在这个位置,这意味着如果你运行相同的实验,一遍又一遍,说,测量粒子的位置在相同数量的t,相同数量的一些初始配置的运行时间,你只是做一个直方图多少次你发现粒子在一个地方或另一个,说,1000年的实验中,你会发现这些直方图填写这个概率概要文件。
如果是这样的话,那么概率概要文件是准确地描述你的实验的结果。让我告诉你。再一次,这是完全示意图。让我把这家伙在这里。蓝色曲线是常态的平方概率波在一个给定的时刻。
我们做这个实验时,发现粒子的位置很多,许多实验的运行。我要把一个x每次我找到位置的粒子在一个值与另一个。你可以看到,随着时间的推移,直方图确实填写概率波的形状。也就是说,标准量子力学的波函数的平方。
当然,这只是一个模拟,一曲,但如果你看看真实世界的数据,概率资料给我们解决了薛定谔方程的波函数,实际上,描述你在哪里找到的概率分布粒子在许多,许多运行相同的准备实验。最终,就是为什么我们认真对待薛定谔方程。
我给你的动机应该给你一个对方程的各个部分是从哪里来的,但是最终,它是一个实验问题的方程与现实世界现象。和薛定谔方程,通过测量,通过,在近100年,出色地。
好吧,这就是我今天想说的。量子力学的薛定谔方程,方程的关键。这应该给你一个感觉,它从哪里来,为什么我们相信,最终它描述了现实。直到下一次,这是你每天的方程。照顾。