量子纠缠，或者爱因斯坦的“幽灵般的超距作用”
量子纠缠被称为量子力学中最奇怪的部分。布莱恩……
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布莱恩。格林:大家好。欢迎收看下一期《每日方程式》。今天，我要研究量子力学中最奇怪的部分。这被称为量子纠缠。很多人要求我展示背后的数学原理，我会展示背后的数学原理。这是非常简单的数学。所以这在今天是一个温和的方程，但它的含义非常深刻，非常深刻。
好，让我为量子纠缠的概念做个铺垫。这要追溯到20世纪30年代。埃尔温·薛定谔正在思考量子力学中奇怪的新特征，这些特征体现在他的数学描述中，用更专业的语言来说，就是这些概率波或波函数。
但这确实是爱因斯坦的一篇论文。又是爱因斯坦，我是说，就像这个家伙，对吧?但这是我和两位同事的论文。两位同事，鲍里斯·波多尔斯基和内森·罗森。他们写了一篇论文，利用量子纠缠试图证明量子力学不能完全描述现实。
当然，你知道，爱因斯坦对量子力学做出了这样的声明，它震动了世界，不仅仅是科学界。让我给你看这里。这是纽约时报，对吧?爱因斯坦攻击量子理论。科学家和两位同事发现，尽管这是正确的，但并不完整。这是对爱因斯坦观点的一个很好的描述。
正如我在这个小插曲的结尾所讨论的那样，爱因斯坦并不是想说量子力学在任何意义上都是错误的，因为它对世界做出了不正确的预测。他只是说它是错误的，因为它的一些追随者曾经这样做过，现在仍然这样做。量子力学给出了客观世界的完整描述。它不是一个近似的描述，它没有遗漏任何东西。这是对世界的完整描述。
爱因斯坦还在这篇论文中声称，纠缠建立了，而爱因斯坦——他的同事们的思想——建立了量子力学确实遗漏了一些东西。这就是他的观点。但让我从实际讨论这个纠缠本身开始。
就在爱因斯坦的论文里。这就是Podolsky和Rosen的论文。我可以随便翻一下。你应该看看这张纸。看看这个，第1页，第2页，只有几个方程，没什么特别的，第3页，第4页，就是这样——四页的论文有令人难以置信的分支。
这里没有什么比一些非常基本的量子力学更复杂的了，我们已经讨论过了。但在传统课程中，你会在前两到三周讲到这些，还有一点微积分，一点线性代数，但没有什么是说一个本科生不能把这篇论文吃下去，读完它。
我总是很惊讶，很少有人真正阅读原始论文。在一个学科成为时代精神的一部分之前，在它成为每个人都理解甚至认为理所当然的一部分之前，看看它的先驱们是如何思考的，这通常是非常值得的。所以你应该看看这篇论文。
但现在让我们关注纠缠本身，并对它有一个基本的了解。我会给你们看数学方程。我要讲的是纠缠。我先概括一下，然后再举一个具体的例子。是什么?纠缠是一种情况，比如说，你可以有两个粒子，对吧?它们会相互作用一会儿。然后关闭交互。
你能想到的是将粒子广泛分离。假设你把一个粒子放在加州，另一个放在纽约。好吧?特别是量子力学和量子纠缠理论认为，在加利福尼亚对一个粒子进行测量，可能会以某种方式瞬间影响到纽约粒子的量子态。
类似地，如果你在纽约对粒子进行测量，如果设置正确，你可以立即影响加州粒子的量子态，即使它们相隔很远。这是一种瞬时效应，所以不可能有某种影响在全国范围内传播，然后说，嘿，我在纽约被测量过，这会影响到你。不是那样的。在相隔很远的地方产生瞬时影响。
爱因斯坦称之为幽灵。这种联系，他称之为鬼魅般的超距作用。在这里做点什么，它会影响到那里。这是量子力学的形式主义所固有的。我给你们举个具体的例子。我要利用粒子的一种性质，叫做量子力学自旋。
你可能对这个想法很熟悉。如果你不是，听着，我可以考虑一下。世界上的每个粒子都有一定数量的量子力学自旋。我要关注一个叫做自旋1/2的量。细节不重要。但这意味着粒子可以顺时针旋转，也就是向下旋转。或者它可以逆时针旋转——逆时针方向，也就是向上旋转。
这些是手指。手指绕着方向旋转，向上旋转。绕这个方向旋转，向下旋转。这只是粒子物理的一个事实。所以这并不奇怪。嗯，它有它自己的奇怪之处——也许我应该有一个关于量子力学自旋的小插曲。但让我们认为这是理所当然的。
粒子要么自旋向上，要么自旋向下。现在，量子物理学的奇怪之处在于，粒子可以处于一种模糊的、概率性的混合状态，同时向上旋转和向下旋转。所以你可以有一个粒子在这种情况下，上下，上下，各50%
只有当你测量它或者用一种合适的方式相互作用时它才会跳出概率的迷雾，向上旋转或者跳出概率的迷雾，向下旋转。只有通过这种相互作用通过这种测量你才能让粒子有一个明确的取向。这就是粒子自旋。
让我给你们看个图像，让你们看得更清楚一点。这是一个粒子。这是一个动画版本，一个生物在50-50的混合物中，自旋向上和自旋向下——有点像，蓝色箭头向上，红色箭头向下。然后我继续，执行一个测量。这迫使粒子有一个明确的倾向。在这种情况下，向下旋转。
同样，如果我们再做一次实验因为这是一个粒子的概率统计描述如果它在这个50-50的统计混合中，那么当我再来做第二次测量时，我可能会得到不同的答案。我可能会测量它。砰的一声，它从概率的迷雾中跳出来。在这种情况下，旋转向上。
这是量子力学的一个特征。在你与它进行适当的互动之前，世界处于这种朦胧的概率迷雾中，这本身可能是奇怪的，但要接受这一点。因为现在我想进一步探讨量子纠缠的奇怪之处，也就是这个。
在量子力学中，你可以有两个粒子。它们相互作用一段时间。通过这种相互作用，它们可以进入如下的量子态。每个粒子都处于同时自旋向上和自旋向下的模糊混合状态。再说一次，这并不奇怪。但奇怪的是，它们是完全相关的。
所以当这个粒子向上，这个粒子向下。当这个向上，这个向下，反之亦然。所以它们的比例是五五开，现在你可以关闭相互作用，把它们分开。所以让我们把一个粒子放在国家的一边另一个粒子放在国家的另一边——比方说，纽约和加利福尼亚。
所以它们都同时处于上下模糊的混合中。现在想象一下，我应该说，你过去了，你测量了加州的粒子，它冲出了雾霾，旋转起来。量子理论说，就在那一刻，纽约的粒子会跳出模糊的迷雾，向下旋转，即使你什么都没对它做。
所以你在加州的测量对纽约粒子的量子态有影响。当然，反过来也是如此。我就直说吧。现在，想象一下，每个人都在五五开的雾霾中。你去纽约的粒子那里，测量它。它向上旋转。
根据数学计算，加州的那个将会从雾霾中跳出来，同时旋转。所以你在纽约的测量对加州粒子的量子力学状态产生了诡异的影响。我可以直观地展示给你们看。
看这里，模糊混合物中的每个粒子都自旋向上和向下，让你前进，你测量左边的粒子。它向上旋转。就在那一刻，右边的那颗冲出了阴霾，旋转而下。再做一遍。所以它们在这个模糊的混合物中。现在想象一下右边的粒子。就说在加州吧。你测量它，旋转向上。纽约的那一颗从雾霾中冲出，旋转而下。
你可以继续这样做。奇怪的是，这之间有一种诡异的联系。每一个都处于随机上下的概率混合中，然而，通过测量一个遥远的粒子，你迫使你附近的粒子处于一个确定的状态。这很奇怪，对吧?这就是爱因斯坦称之为幽灵的原因。粒子之间的这种诡异的联系。
现在你如何用数学来描述这个想法呢?方程其实很简单。换到iPad上。我来介绍一个小符号。所以当一个粒子自旋向上时，我们有时——我们可以用你们熟悉的符号——四个波函数。
我在其他课上用过。但是我们用了一个稍微不同的符号。我把这个擦掉。我们用一个符号表示，如果它向上旋转，这就是我们表示量子力学状态的方式——一个向上的箭头。类似地，如果这个家伙向下旋转，这就是我们表示量子力学状态的方法。
现在如何表示单个粒子的状态——这都是针对单个粒子的。如何表示一个粒子的状态它是向上旋转和向下旋转的混合物?我们可以写出一个向上的自旋，然后加上向下的自旋，我们需要再次标准化，这样概率加起来是什么，我不打算在这里担心这些细节。
但重点是我现在有了一个等量的混合物因为你知道，我基本上有一个系数1，再一次，在每个前面适当地归一化，这是隐含的。所以我得到了等量的上下混合。因此，这就是我们如何描述这种情况我们有50%的机会向上测量50%的机会向下测量。好。
这就是单粒子，一点也不奇怪。现在我们来看两个粒子的情况，而不是上面的一个粒子。我们用两种不同的颜色来表示这两个粒子。假设粒子1向上自旋，我们描述过它与粒子2向下自旋相关。我们这样写。
所以当粒子1处于上状态时。粒子2，看起来不太漂亮，粒子2处于下状态。很好。我把这些弯弯曲曲的擦掉。这会让人困惑。现在，如果它们每一个都在这个五五开的混合物中，好，现在让我回到粒子1，包括它向下旋转的可能性。但如果它向下旋转，这与另一个向上旋转的粒子是相关的。
所以在这种情况下，两个粒子都处于上下旋转的模糊混合状态。如果我们看，比方说，1号粒子，它有这部分和这部分。所以它有上下画质。粒子2有50个向上和50个向下的质量。但数学的建立方式是每个粒子的状态都依赖于另一个粒子的状态。
这是什么意思呢?我把无关的东西都擦掉，这样就不会太乱了。我的意思是，想象一下现在你来了，对粒子1进行测量。就是左边的那个。也许这就是加州的粒子。
你测量粒子1，为了便于讨论，假设你发现它确实在向上旋转。你们现在知道，波函数的这一部分——让我在这里用一点绿色——波函数的这一部分现在已经脱离了这种情况，因为它涉及到1号粒子处于自旋向下的方向，但是你们的测量发现它是自旋向上的。所以你知道波函数的那部分不再相关，不再适用。
有时人们会说波函数的坍缩。你可以引入各种其他想法，比如多世界解读。所以我们现在不去细说每一个细节。所以让我们使用这个更传统的描述波函数的这部分现在已经被省略了因为它描述了粒子的状态，一个你知道不是这样的状态。
它没有向下旋转。它在向上旋转。很好。现在，如果你看波函数的剩余部分，你就会知道粒子2一定是向下旋转的即使你对粒子2什么都没做。粒子2可能在纽约。粒子1可能在加州。
这就是诡异之处。你从每个粒子在模糊混合物中同时向上和向下旋转的量子态开始。你对其中一个粒子进行测量，比如左边的那个——加州紫色的那个。这会影响到纽约粒子2的状态。因为现在粒子2的状态是由向下自旋给出的，而不是向下自旋和向上自旋。然而，这种变化是在你没有与纽约的粒子相互作用的情况下发生的。这就是诡异，这就是纠缠背后的数学原理。
事实上，如果可以的话，让我回到爱因斯坦的论文。爱因斯坦的论文，很好。我不知道你们能不能看到，那篇论文上的方程7给出了量子纠缠的更一般的版本。也许我们应该把这个方程写下来。毕竟，这是爱因斯坦的论文。这很有趣。
他说，看，如果你有两个粒子，他只研究一维量子力学。他有粒子1的坐标和粒子2的坐标，他说，看，如果这个波函数是这样的，那么这里就有很多纠缠因为，粒子1的状态和粒子2的状态是相关的，因为这个波函数不能被分解成，比如说，我叫它Kai (x1)乘以(x2)
一般来说，它不能被分成这两部分因为你有很多部分的总和，对吧?只有在特殊的情况下，比如说，n = 1或者当它是可分离的，他们才能把波函数分离成粒子1和粒子2的状态。这是唯一一种它们不会纠缠的特殊情况因为粒子1和粒子2的状态是相互独立的。对粒子2进行测量并不会影响粒子1。
但在一般情况下，爱因斯坦看这里，如果你说，来测量粒子2，假设你发现它的状态由u3 (x2)给出。有很多描述粒子2的可能性。它可能处于状态u1或u2。这些都是量子力学波函数，但是你测量它，你发现它的状态是u3，那么你马上就会知道1号粒子的状态一定是Psi 3 (x1)因为你已经消去了这个量子力学和中的所有项，只剩下一项。
这就是诡异之处，粒子1的状态取决于粒子2的状态。粒子2的状态，你做一个测量，粒子2的状态，它会影响粒子1的状态不管它们是否相互作用，不管它们是否靠近。这是基本的思想，这是量子纠缠的基本方程。让我用一个观点来结束这个观点是毫无疑问的，失陪一下。我将在其他章节中提到爱因斯坦的观点他认为量子力学的数学描述就目前而言可能是准确的，但他说实际上并没有什么可怕的事情发生。
他说如果你测量粒子1的状态发现它是向上旋转的，他说它一直在向上旋转。它从来不是一种模糊的混合物，同时上下旋转。因此，与粒子2的相关性，如果粒子1向上，粒子2向下，他说，粒子2总是向下。是你不准确的概率描述导致你认为粒子处于上下的混合状态，但它一直处于确定的状态。所以他说它们之间的相关性并不奇怪，一点也不奇怪。
事实上，约翰·贝尔，我们在这几集里还会讲到他，如果我们进一步探讨量子纠缠，我不确定我们会讲到，但如果你们感兴趣，我当然会讲到。他举了一个有趣的例子，用他一个叫贝塔斯曼的同事特有的着装规范做了一个类比，贝塔斯曼的袜子。贝塔斯曼就是这样一个角色，他总是穿着不同颜色的袜子。是的。很好。嘿，这只是碰巧，对吧?
我也在做贝塔斯曼做过的事。早上，我打开我的袜子抽屉，我不——只要它们是干净的，我不在乎。我只是把它们拉出来。我不担心它们是否匹配，有时它们不匹配，碰巧的是，我知道这太恶心了。太恶心了。不管怎样我都要做，管他呢。所以我要给你看我的袜子，对吧?它们是干净的。我告诉你们，他们是洁净的。这是我右脚上的一只袜子。 Here is a sock, get the dirt off if there is any, on my left foot, and [? there you saw. ?] They don't match. I got purple and blue, right?
想象一下，我拿着这些袜子。这是约翰·贝尔的描述。我把这些袜子放在两个不同的盒子里，并说，我把它们分开了。他说，如果你现在去到盒子1，假设它在加州，你发现它是紫色的，他说，天哪，你现在已经知道了粒子2在纽约的状态。你知道是蓝色的。看，倒过来。你知道是蓝色的。他说这很奇怪吗?不，这当然不奇怪，对吧?因为你有一对，它们是相关的。 They're not the same, but they're correlated, and so the state of the sock in California determines the state of the sock in New York by virtue of this correlation.
爱因斯坦说这是一回事。他说，你以为发生的那些起起伏伏，其实不是这样的。加州的粒子总是向上，因此纽约的粒子总是向下。这就是它的全部。现在，量子力学的人，他们说，爱因斯坦，不，不，不。用另一个类比来描述正在发生的事情会更好。假设你有一对骰子。你扔一个骰子或者一个骰子，你在加州扔，你得到6，你在纽约扔另一个骰子，你得到1，或者你在加州扔骰子，你得到4。在纽约，你得3分。加州，你得5分。 New York, you get a two, and so on.
他们说，奇怪的是，概率性质是相关的，而不是确定的性质。如果你有一对这样的骰子，你会觉得奇怪吗?当然，你会觉得这很奇怪。纽约的一个随机结果，加州的一个随机结果，或者我猜，我应该说，加州的一个随机结果，纽约的一个随机结果，总是相互关联的。哇。这怎么可能呢?随机不同的事物如何能在这种明确相关的关系中存在?
但这就是量子力学说的。现在，谁是对的?爱因斯坦是对的吗?幕后。事物总是有一定的性质。量子力学是不完整的因为它不能告诉你那些确定的性质或者量子力学是正确的吗?然后说，不，不。它们没有明确的性质，直到测量或适当的相互作用，而奇怪的是，这些随机的性质甚至可以在相隔很远的地方相互关联。约翰·贝尔提出了他对此的深刻见解。我想今天大多数人会说量子力学的图像战胜了爱因斯坦的版本。
但是你必须要小心你说的是什么意思因为让爱因斯坦感到困扰的幽灵行为，我们相信它仍然存在。但如果你小心行事的话，也不能排除幕后存在某种特定品质的可能性。所以我不会走那条路。但我今天真正想做的是给你们量子纠缠背后的数学方程。
它只是一个量子力学波函数，对于两个不能被分裂成粒子1乘以粒子2的粒子。这是一个和，叠加。同样，薛定谔方程是线性的，因此如果一个解和另一个解相加，它们仍然是一个解。我们发现，在某些情况下，一个粒子的状态非常依赖于另一个粒子的状态，如果你测量一个粒子的状态，它会影响第一个粒子的量子状态，即使它们在宇宙的两端。
好的。这就是量子纠缠的基本概念。这就是我今天想说的。这就是今天的每日方程式。下次见，保重。
好，让我为量子纠缠的概念做个铺垫。这要追溯到20世纪30年代。埃尔温·薛定谔正在思考量子力学中奇怪的新特征，这些特征体现在他的数学描述中，用更专业的语言来说，就是这些概率波或波函数。
但这确实是爱因斯坦的一篇论文。又是爱因斯坦，我是说，就像这个家伙，对吧?但这是我和两位同事的论文。两位同事，鲍里斯·波多尔斯基和内森·罗森。他们写了一篇论文，利用量子纠缠试图证明量子力学不能完全描述现实。
当然，你知道，爱因斯坦对量子力学做出了这样的声明，它震动了世界，不仅仅是科学界。让我给你看这里。这是纽约时报，对吧?爱因斯坦攻击量子理论。科学家和两位同事发现，尽管这是正确的，但并不完整。这是对爱因斯坦观点的一个很好的描述。
正如我在这个小插曲的结尾所讨论的那样，爱因斯坦并不是想说量子力学在任何意义上都是错误的，因为它对世界做出了不正确的预测。他只是说它是错误的，因为它的一些追随者曾经这样做过，现在仍然这样做。量子力学给出了客观世界的完整描述。它不是一个近似的描述，它没有遗漏任何东西。这是对世界的完整描述。
爱因斯坦还在这篇论文中声称，纠缠建立了，而爱因斯坦——他的同事们的思想——建立了量子力学确实遗漏了一些东西。这就是他的观点。但让我从实际讨论这个纠缠本身开始。
就在爱因斯坦的论文里。这就是Podolsky和Rosen的论文。我可以随便翻一下。你应该看看这张纸。看看这个，第1页，第2页，只有几个方程，没什么特别的，第3页，第4页，就是这样——四页的论文有令人难以置信的分支。
这里没有什么比一些非常基本的量子力学更复杂的了，我们已经讨论过了。但在传统课程中，你会在前两到三周讲到这些，还有一点微积分，一点线性代数，但没有什么是说一个本科生不能把这篇论文吃下去，读完它。
我总是很惊讶，很少有人真正阅读原始论文。在一个学科成为时代精神的一部分之前，在它成为每个人都理解甚至认为理所当然的一部分之前，看看它的先驱们是如何思考的，这通常是非常值得的。所以你应该看看这篇论文。
但现在让我们关注纠缠本身，并对它有一个基本的了解。我会给你们看数学方程。我要讲的是纠缠。我先概括一下，然后再举一个具体的例子。是什么?纠缠是一种情况，比如说，你可以有两个粒子，对吧?它们会相互作用一会儿。然后关闭交互。
你能想到的是将粒子广泛分离。假设你把一个粒子放在加州，另一个放在纽约。好吧?特别是量子力学和量子纠缠理论认为，在加利福尼亚对一个粒子进行测量，可能会以某种方式瞬间影响到纽约粒子的量子态。
类似地，如果你在纽约对粒子进行测量，如果设置正确，你可以立即影响加州粒子的量子态，即使它们相隔很远。这是一种瞬时效应，所以不可能有某种影响在全国范围内传播，然后说，嘿，我在纽约被测量过，这会影响到你。不是那样的。在相隔很远的地方产生瞬时影响。
爱因斯坦称之为幽灵。这种联系，他称之为鬼魅般的超距作用。在这里做点什么，它会影响到那里。这是量子力学的形式主义所固有的。我给你们举个具体的例子。我要利用粒子的一种性质，叫做量子力学自旋。
你可能对这个想法很熟悉。如果你不是，听着，我可以考虑一下。世界上的每个粒子都有一定数量的量子力学自旋。我要关注一个叫做自旋1/2的量。细节不重要。但这意味着粒子可以顺时针旋转，也就是向下旋转。或者它可以逆时针旋转——逆时针方向，也就是向上旋转。
这些是手指。手指绕着方向旋转，向上旋转。绕这个方向旋转，向下旋转。这只是粒子物理的一个事实。所以这并不奇怪。嗯，它有它自己的奇怪之处——也许我应该有一个关于量子力学自旋的小插曲。但让我们认为这是理所当然的。
粒子要么自旋向上，要么自旋向下。现在，量子物理学的奇怪之处在于，粒子可以处于一种模糊的、概率性的混合状态，同时向上旋转和向下旋转。所以你可以有一个粒子在这种情况下，上下，上下，各50%
只有当你测量它或者用一种合适的方式相互作用时它才会跳出概率的迷雾，向上旋转或者跳出概率的迷雾，向下旋转。只有通过这种相互作用通过这种测量你才能让粒子有一个明确的取向。这就是粒子自旋。
让我给你们看个图像，让你们看得更清楚一点。这是一个粒子。这是一个动画版本，一个生物在50-50的混合物中，自旋向上和自旋向下——有点像，蓝色箭头向上，红色箭头向下。然后我继续，执行一个测量。这迫使粒子有一个明确的倾向。在这种情况下，向下旋转。
同样，如果我们再做一次实验因为这是一个粒子的概率统计描述如果它在这个50-50的统计混合中，那么当我再来做第二次测量时，我可能会得到不同的答案。我可能会测量它。砰的一声，它从概率的迷雾中跳出来。在这种情况下，旋转向上。
这是量子力学的一个特征。在你与它进行适当的互动之前，世界处于这种朦胧的概率迷雾中，这本身可能是奇怪的，但要接受这一点。因为现在我想进一步探讨量子纠缠的奇怪之处，也就是这个。
在量子力学中，你可以有两个粒子。它们相互作用一段时间。通过这种相互作用，它们可以进入如下的量子态。每个粒子都处于同时自旋向上和自旋向下的模糊混合状态。再说一次，这并不奇怪。但奇怪的是，它们是完全相关的。
所以当这个粒子向上，这个粒子向下。当这个向上，这个向下，反之亦然。所以它们的比例是五五开，现在你可以关闭相互作用，把它们分开。所以让我们把一个粒子放在国家的一边另一个粒子放在国家的另一边——比方说，纽约和加利福尼亚。
所以它们都同时处于上下模糊的混合中。现在想象一下，我应该说，你过去了，你测量了加州的粒子，它冲出了雾霾，旋转起来。量子理论说，就在那一刻，纽约的粒子会跳出模糊的迷雾，向下旋转，即使你什么都没对它做。
所以你在加州的测量对纽约粒子的量子态有影响。当然，反过来也是如此。我就直说吧。现在，想象一下，每个人都在五五开的雾霾中。你去纽约的粒子那里，测量它。它向上旋转。
根据数学计算，加州的那个将会从雾霾中跳出来，同时旋转。所以你在纽约的测量对加州粒子的量子力学状态产生了诡异的影响。我可以直观地展示给你们看。
看这里，模糊混合物中的每个粒子都自旋向上和向下，让你前进，你测量左边的粒子。它向上旋转。就在那一刻，右边的那颗冲出了阴霾，旋转而下。再做一遍。所以它们在这个模糊的混合物中。现在想象一下右边的粒子。就说在加州吧。你测量它，旋转向上。纽约的那一颗从雾霾中冲出，旋转而下。
你可以继续这样做。奇怪的是，这之间有一种诡异的联系。每一个都处于随机上下的概率混合中，然而，通过测量一个遥远的粒子，你迫使你附近的粒子处于一个确定的状态。这很奇怪，对吧?这就是爱因斯坦称之为幽灵的原因。粒子之间的这种诡异的联系。
现在你如何用数学来描述这个想法呢?方程其实很简单。换到iPad上。我来介绍一个小符号。所以当一个粒子自旋向上时，我们有时——我们可以用你们熟悉的符号——四个波函数。
我在其他课上用过。但是我们用了一个稍微不同的符号。我把这个擦掉。我们用一个符号表示，如果它向上旋转，这就是我们表示量子力学状态的方式——一个向上的箭头。类似地，如果这个家伙向下旋转，这就是我们表示量子力学状态的方法。
现在如何表示单个粒子的状态——这都是针对单个粒子的。如何表示一个粒子的状态它是向上旋转和向下旋转的混合物?我们可以写出一个向上的自旋，然后加上向下的自旋，我们需要再次标准化，这样概率加起来是什么，我不打算在这里担心这些细节。
但重点是我现在有了一个等量的混合物因为你知道，我基本上有一个系数1，再一次，在每个前面适当地归一化，这是隐含的。所以我得到了等量的上下混合。因此，这就是我们如何描述这种情况我们有50%的机会向上测量50%的机会向下测量。好。
这就是单粒子，一点也不奇怪。现在我们来看两个粒子的情况，而不是上面的一个粒子。我们用两种不同的颜色来表示这两个粒子。假设粒子1向上自旋，我们描述过它与粒子2向下自旋相关。我们这样写。
所以当粒子1处于上状态时。粒子2，看起来不太漂亮，粒子2处于下状态。很好。我把这些弯弯曲曲的擦掉。这会让人困惑。现在，如果它们每一个都在这个五五开的混合物中，好，现在让我回到粒子1，包括它向下旋转的可能性。但如果它向下旋转，这与另一个向上旋转的粒子是相关的。
所以在这种情况下，两个粒子都处于上下旋转的模糊混合状态。如果我们看，比方说，1号粒子，它有这部分和这部分。所以它有上下画质。粒子2有50个向上和50个向下的质量。但数学的建立方式是每个粒子的状态都依赖于另一个粒子的状态。
这是什么意思呢?我把无关的东西都擦掉，这样就不会太乱了。我的意思是，想象一下现在你来了，对粒子1进行测量。就是左边的那个。也许这就是加州的粒子。
你测量粒子1，为了便于讨论，假设你发现它确实在向上旋转。你们现在知道，波函数的这一部分——让我在这里用一点绿色——波函数的这一部分现在已经脱离了这种情况，因为它涉及到1号粒子处于自旋向下的方向，但是你们的测量发现它是自旋向上的。所以你知道波函数的那部分不再相关，不再适用。
有时人们会说波函数的坍缩。你可以引入各种其他想法，比如多世界解读。所以我们现在不去细说每一个细节。所以让我们使用这个更传统的描述波函数的这部分现在已经被省略了因为它描述了粒子的状态，一个你知道不是这样的状态。
它没有向下旋转。它在向上旋转。很好。现在，如果你看波函数的剩余部分，你就会知道粒子2一定是向下旋转的即使你对粒子2什么都没做。粒子2可能在纽约。粒子1可能在加州。
这就是诡异之处。你从每个粒子在模糊混合物中同时向上和向下旋转的量子态开始。你对其中一个粒子进行测量，比如左边的那个——加州紫色的那个。这会影响到纽约粒子2的状态。因为现在粒子2的状态是由向下自旋给出的，而不是向下自旋和向上自旋。然而，这种变化是在你没有与纽约的粒子相互作用的情况下发生的。这就是诡异，这就是纠缠背后的数学原理。
事实上，如果可以的话，让我回到爱因斯坦的论文。爱因斯坦的论文，很好。我不知道你们能不能看到，那篇论文上的方程7给出了量子纠缠的更一般的版本。也许我们应该把这个方程写下来。毕竟，这是爱因斯坦的论文。这很有趣。
他说，看，如果你有两个粒子，他只研究一维量子力学。他有粒子1的坐标和粒子2的坐标，他说，看，如果这个波函数是这样的，那么这里就有很多纠缠因为，粒子1的状态和粒子2的状态是相关的，因为这个波函数不能被分解成，比如说，我叫它Kai (x1)乘以(x2)
一般来说，它不能被分成这两部分因为你有很多部分的总和，对吧?只有在特殊的情况下，比如说，n = 1或者当它是可分离的，他们才能把波函数分离成粒子1和粒子2的状态。这是唯一一种它们不会纠缠的特殊情况因为粒子1和粒子2的状态是相互独立的。对粒子2进行测量并不会影响粒子1。
但在一般情况下，爱因斯坦看这里，如果你说，来测量粒子2，假设你发现它的状态由u3 (x2)给出。有很多描述粒子2的可能性。它可能处于状态u1或u2。这些都是量子力学波函数，但是你测量它，你发现它的状态是u3，那么你马上就会知道1号粒子的状态一定是Psi 3 (x1)因为你已经消去了这个量子力学和中的所有项，只剩下一项。
这就是诡异之处，粒子1的状态取决于粒子2的状态。粒子2的状态，你做一个测量，粒子2的状态，它会影响粒子1的状态不管它们是否相互作用，不管它们是否靠近。这是基本的思想，这是量子纠缠的基本方程。让我用一个观点来结束这个观点是毫无疑问的，失陪一下。我将在其他章节中提到爱因斯坦的观点他认为量子力学的数学描述就目前而言可能是准确的，但他说实际上并没有什么可怕的事情发生。
他说如果你测量粒子1的状态发现它是向上旋转的，他说它一直在向上旋转。它从来不是一种模糊的混合物，同时上下旋转。因此，与粒子2的相关性，如果粒子1向上，粒子2向下，他说，粒子2总是向下。是你不准确的概率描述导致你认为粒子处于上下的混合状态，但它一直处于确定的状态。所以他说它们之间的相关性并不奇怪，一点也不奇怪。
事实上，约翰·贝尔，我们在这几集里还会讲到他，如果我们进一步探讨量子纠缠，我不确定我们会讲到，但如果你们感兴趣，我当然会讲到。他举了一个有趣的例子，用他一个叫贝塔斯曼的同事特有的着装规范做了一个类比，贝塔斯曼的袜子。贝塔斯曼就是这样一个角色，他总是穿着不同颜色的袜子。是的。很好。嘿，这只是碰巧，对吧?
我也在做贝塔斯曼做过的事。早上，我打开我的袜子抽屉，我不——只要它们是干净的，我不在乎。我只是把它们拉出来。我不担心它们是否匹配，有时它们不匹配，碰巧的是，我知道这太恶心了。太恶心了。不管怎样我都要做，管他呢。所以我要给你看我的袜子，对吧?它们是干净的。我告诉你们，他们是洁净的。这是我右脚上的一只袜子。 Here is a sock, get the dirt off if there is any, on my left foot, and [? there you saw. ?] They don't match. I got purple and blue, right?
想象一下，我拿着这些袜子。这是约翰·贝尔的描述。我把这些袜子放在两个不同的盒子里，并说，我把它们分开了。他说，如果你现在去到盒子1，假设它在加州，你发现它是紫色的，他说，天哪，你现在已经知道了粒子2在纽约的状态。你知道是蓝色的。看，倒过来。你知道是蓝色的。他说这很奇怪吗?不，这当然不奇怪，对吧?因为你有一对，它们是相关的。 They're not the same, but they're correlated, and so the state of the sock in California determines the state of the sock in New York by virtue of this correlation.
爱因斯坦说这是一回事。他说，你以为发生的那些起起伏伏，其实不是这样的。加州的粒子总是向上，因此纽约的粒子总是向下。这就是它的全部。现在，量子力学的人，他们说，爱因斯坦，不，不，不。用另一个类比来描述正在发生的事情会更好。假设你有一对骰子。你扔一个骰子或者一个骰子，你在加州扔，你得到6，你在纽约扔另一个骰子，你得到1，或者你在加州扔骰子，你得到4。在纽约，你得3分。加州，你得5分。 New York, you get a two, and so on.
他们说，奇怪的是，概率性质是相关的，而不是确定的性质。如果你有一对这样的骰子，你会觉得奇怪吗?当然，你会觉得这很奇怪。纽约的一个随机结果，加州的一个随机结果，或者我猜，我应该说，加州的一个随机结果，纽约的一个随机结果，总是相互关联的。哇。这怎么可能呢?随机不同的事物如何能在这种明确相关的关系中存在?
但这就是量子力学说的。现在，谁是对的?爱因斯坦是对的吗?幕后。事物总是有一定的性质。量子力学是不完整的因为它不能告诉你那些确定的性质或者量子力学是正确的吗?然后说，不，不。它们没有明确的性质，直到测量或适当的相互作用，而奇怪的是，这些随机的性质甚至可以在相隔很远的地方相互关联。约翰·贝尔提出了他对此的深刻见解。我想今天大多数人会说量子力学的图像战胜了爱因斯坦的版本。
但是你必须要小心你说的是什么意思因为让爱因斯坦感到困扰的幽灵行为，我们相信它仍然存在。但如果你小心行事的话，也不能排除幕后存在某种特定品质的可能性。所以我不会走那条路。但我今天真正想做的是给你们量子纠缠背后的数学方程。
它只是一个量子力学波函数，对于两个不能被分裂成粒子1乘以粒子2的粒子。这是一个和，叠加。同样，薛定谔方程是线性的，因此如果一个解和另一个解相加，它们仍然是一个解。我们发现，在某些情况下，一个粒子的状态非常依赖于另一个粒子的状态，如果你测量一个粒子的状态，它会影响第一个粒子的量子状态，即使它们在宇宙的两端。
好的。这就是量子纠缠的基本概念。这就是我今天想说的。这就是今天的每日方程式。下次见，保重。